Un integrale improprio in 1 varabile
L'integrale è
$\int_{-1}^{1} 1/x dx$
è improprio a causa dell'origine dove l'integranda non è definita e lì vicino non è limitata
Soluzione:
- Da un lato la funzione è dispari e l'intervallo simmetrico, quindi l'integrale sembrerebbe intuitivamente fare 0
- D'altro lato usando le tecniche di analisi e spezzando in 2 integrali impropri a sinistra e destra dell'origine viene $+\infty - \infty$ quindi l'integrale è non definito
come mai questa discordanza tra intuito e calcolo?
$\int_{-1}^{1} 1/x dx$
è improprio a causa dell'origine dove l'integranda non è definita e lì vicino non è limitata
Soluzione:
- Da un lato la funzione è dispari e l'intervallo simmetrico, quindi l'integrale sembrerebbe intuitivamente fare 0
- D'altro lato usando le tecniche di analisi e spezzando in 2 integrali impropri a sinistra e destra dell'origine viene $+\infty - \infty$ quindi l'integrale è non definito
come mai questa discordanza tra intuito e calcolo?
Risposte
E infatti è un problema classico. Il guaio di quell'integrale è che
\[\int_{-1}^{+1}\left\lvert \frac{1}{x}\right\rvert\, dx=\infty\]
fatto che porta a fenomeni controintuitivi come quello che osservi qua. La soluzione è quella di considerare "integrabili" solo le funzioni \(f\) tali che
\[\int_I\, \lvert f(x)\rvert\, dx< \infty.\]
\[\int_{-1}^{+1}\left\lvert \frac{1}{x}\right\rvert\, dx=\infty\]
fatto che porta a fenomeni controintuitivi come quello che osservi qua. La soluzione è quella di considerare "integrabili" solo le funzioni \(f\) tali che
\[\int_I\, \lvert f(x)\rvert\, dx< \infty.\]
Se non sbaglio la funzione è integrabile ma come VP -valor principale
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