Un integrale improprio
Salve a tutti,
volevo chiedervi aiuto riguardo un esercizio su un integrale improprio. Ecco il testo:
"Dire per quali $\alpha>0$ converge il seguente integrale improprio:
$\int_{0}^{\pi/4} x^(1/2)/(tg^(\alpha)x) dx$ ".
Sulle soluzioni però non capisco bene quello che fa il professore: dice che essendo $lim_(x->0)(tgx)/x=1$ , allora possiamo usare il confronto asintotico utilizzando la funzione $x^(1/2)/x^(\alpha)$ , e ragionare con l'integrale tra gli stessi estremi di prima con questa funzione, e dopodiché è tutto più facile e saprei andare avanti. Ma è proprio questo passaggio che mi sfugge: cioè, per stabilire che due funzioni $f(x)$ e $g(x)$ sono asintoticamente uguali (in questo caso, $tgx$ e $x$) non dovrebbe valere che $lim_(x->infty)f(x)/g(x)=1$ ? Perché qui sostituisce $x$ a $tgx$ dopo aver constatato che quel limite fa 1 ma per $x->0$ (che poi per $x->infty$ il limite non è affatto 1, quindi $tgx$ non va all'infinito come $x$, e non capisco perché si possa lavorare con quella funzione)? Credo che c'entri il fatto che l'integrale è improprio in 0 perché là il denominatore si annulla, però non capisco che fa. Spero possiate aiutarmi!
Grazie in anticipo
Valentina
volevo chiedervi aiuto riguardo un esercizio su un integrale improprio. Ecco il testo:
"Dire per quali $\alpha>0$ converge il seguente integrale improprio:
$\int_{0}^{\pi/4} x^(1/2)/(tg^(\alpha)x) dx$ ".
Sulle soluzioni però non capisco bene quello che fa il professore: dice che essendo $lim_(x->0)(tgx)/x=1$ , allora possiamo usare il confronto asintotico utilizzando la funzione $x^(1/2)/x^(\alpha)$ , e ragionare con l'integrale tra gli stessi estremi di prima con questa funzione, e dopodiché è tutto più facile e saprei andare avanti. Ma è proprio questo passaggio che mi sfugge: cioè, per stabilire che due funzioni $f(x)$ e $g(x)$ sono asintoticamente uguali (in questo caso, $tgx$ e $x$) non dovrebbe valere che $lim_(x->infty)f(x)/g(x)=1$ ? Perché qui sostituisce $x$ a $tgx$ dopo aver constatato che quel limite fa 1 ma per $x->0$ (che poi per $x->infty$ il limite non è affatto 1, quindi $tgx$ non va all'infinito come $x$, e non capisco perché si possa lavorare con quella funzione)? Credo che c'entri il fatto che l'integrale è improprio in 0 perché là il denominatore si annulla, però non capisco che fa. Spero possiate aiutarmi!
Grazie in anticipo
Valentina
Risposte
un attimo! la prima cosa che devi osservare difronte ad un integrale improprio è dove è definita la funzione integranda; è evidente che in quel caso il punto $x=0$ crea problemi, mentre il punto $\pi/4$ va benissimo perchè la funzione integranda risulta definita e continua e quindi integrabile; poi osservi che la funzione è sempre positiva in quell'intervallo di integrazione, e quindi puoi applicare il cirterio del confronto asintotico; quando $x\to 0$ hai che
\[\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\tan^{\alpha}x}\sim \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\alpha} }\sim\frac{1}{x^{\alpha-\frac{1}{2}}}\]
dove ha semplicemente ricordato che poichè
\[\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=1\qquad\Rightarrow\qquad \tan x \sim x, \qquad x\to0\]
Per quanto riguarda il discorso a $+\infty$ non vale cero quella stima.
\[\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\tan^{\alpha}x}\sim \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\alpha} }\sim\frac{1}{x^{\alpha-\frac{1}{2}}}\]
dove ha semplicemente ricordato che poichè
\[\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=1\qquad\Rightarrow\qquad \tan x \sim x, \qquad x\to0\]
Per quanto riguarda il discorso a $+\infty$ non vale cero quella stima.
Ma il criterio del confronto asintotico non dice che due funzioni sono asintoticamente uguali se il limite del loro rapporto per $x->infty$ è 1? Se il criterio dice così, perché lo fa per $x->0$? Non è la stessa cosa!
è per $x\tox_0$
Adesso torna! grazie!
ti è tutto chiaro?
si... mi sono resa conto di aver sempre considerato il criterio del confronto asintotico valido solo per $x->infty$ , non so per quale motivo!!
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