Un integrale che mi sta facendo impazzire
COme si integra questa cavolo di funzione? (ovvero con quali idee/sostituzioni si approccia?)
[tex]\frac{1}{(x^2+3)^3}[/tex]
Sul wollfram impazzisce, e mi da delle sostituzioni assurde...
[tex]\frac{1}{(x^2+3)^3}[/tex]
Sul wollfram impazzisce, e mi da delle sostituzioni assurde...
Risposte
A parte che si scrive Wolfram, purtroppo mi viene in mente solo di porre [tex]$x=\sqrt{3}\sinh y$[/tex] oppure [tex]$x=\sqrt{3}\tan y$[/tex]!
Non è uno di quelli che si risolvono iterando il procedimento per parti?
Eh no, mi sembra proprio che non funzioni con la ricorrenza.. alla seconda integrazione si ripete l'integrale ma portandolo di là ho uno 0.. non penso di aver sbagliato i segni, ma è possibile.
Con la sostituzione $Sht=x/sqrt(3)$ c'è da integrare un $1/(Ch^5t)$ e non tutta questa voglia XD, questo sì che si fa con la ricorrenza (o forse c'è un modo più veloce).
Con la sostituzione $Sht=x/sqrt(3)$ c'è da integrare un $1/(Ch^5t)$ e non tutta questa voglia XD, questo sì che si fa con la ricorrenza (o forse c'è un modo più veloce).
vabbè insomma è un casino bello e buono... amen...
Come aveva accennato Seneca, questa funzione si integra usando una delle cosidette formule
"di riduzione". In pratica su determinati tipi di funzioni l'integrazione per parti riesce a fornire una
formula ricorsiva che permette di determinare l'integrale di $f^n$ a partire dall'integrale di $f^(n-1)$.
In questo caso la formula da usare è:
[tex]\(\int \frac{1}{\left(1+x^2\right)^n}=\frac{x}{(2n-2)\left(1+x^2\right)^{n-1}}+\frac{2n-3}{2n-2}\int \frac{1}{\left(1+x^2\right)^{n-1}}\)[/tex]
Vista così forse fa un pò impressione ma in realtà si può ricavare con pochi passaggi usando appunto la formula
di integrazione per parti. Perciò per n = 3 si ottiene questo risultato :
[tex]\(\int \frac{1}{\left(1+x^2\right)^3}=\frac{5x+3x^3}{8\left(1+x^2\right)^2}+\frac{3}{8}\text{ArcTan}(x) + C\)[/tex]
A questo punto si tratta di riportare la tua funzione integranda nella forma del tipo $(1+y^2)^n$ :
[tex]\(\int \frac{1}{\left(3+x^2\right)^3} \, dx=\\
\int \frac{1}{27\left(1+\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)^2\right)^3} \, dx=\\
\frac{1}{27}\int \frac{1}{\left(1+\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)^2\right)^3}D\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)\sqrt{3}dx=\\
\frac{\sqrt{3}}{27}\int \frac{1}{\left(1+\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)^2\right)^3}D\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)dx\)[/tex]
La funzione integranda in questa forma permette di mettere $frac{x}{sqrt(3)}$ nella formula di riduzione
che ho scritto prima. Devo fare un pò di calcoli per ottenere finalmente :
[tex]\(\int \frac{1}{\left(x^2+3\right)^3} \, dx=\frac{1}{216}\left(\frac{5x+x^3}{\left(1+\frac{x^2}{3}\right)^2}+3\sqrt{3}\text{ArcTan}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}x\right)\right)
+ C\)[/tex]
Per verificare questo risultato posso eseguire la derivata e vedere se ottengo la funzione di partenza.
Infatti è proprio quello che succede e stavolta questo compito è alla portata di Mathematica
che gentilmente mi risparmia un pò di fatica :
[tex]\(\text{Simplify}\left[D\left[\frac{1}{216}\left(\frac{5x+x^3}{\left(1+\frac{x^2}{3}\right)^2}+3\sqrt{3}\text{ArcTan}\left[\frac{\sqrt{3}}{3}x\right]\right),x\right]\right]\) = \(\frac{1}{\left(x^2+3\right)^3}\)[/tex]
spero di esserti stato utile, comunque sono d'accordo con te, questo integrale è proprio
di quelli impestati...c'è da perderci su un sacco di tempo. Ciao.
"di riduzione". In pratica su determinati tipi di funzioni l'integrazione per parti riesce a fornire una
formula ricorsiva che permette di determinare l'integrale di $f^n$ a partire dall'integrale di $f^(n-1)$.
In questo caso la formula da usare è:
[tex]\(\int \frac{1}{\left(1+x^2\right)^n}=\frac{x}{(2n-2)\left(1+x^2\right)^{n-1}}+\frac{2n-3}{2n-2}\int \frac{1}{\left(1+x^2\right)^{n-1}}\)[/tex]
Vista così forse fa un pò impressione ma in realtà si può ricavare con pochi passaggi usando appunto la formula
di integrazione per parti. Perciò per n = 3 si ottiene questo risultato :
[tex]\(\int \frac{1}{\left(1+x^2\right)^3}=\frac{5x+3x^3}{8\left(1+x^2\right)^2}+\frac{3}{8}\text{ArcTan}(x) + C\)[/tex]
A questo punto si tratta di riportare la tua funzione integranda nella forma del tipo $(1+y^2)^n$ :
[tex]\(\int \frac{1}{\left(3+x^2\right)^3} \, dx=\\
\int \frac{1}{27\left(1+\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)^2\right)^3} \, dx=\\
\frac{1}{27}\int \frac{1}{\left(1+\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)^2\right)^3}D\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)\sqrt{3}dx=\\
\frac{\sqrt{3}}{27}\int \frac{1}{\left(1+\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)^2\right)^3}D\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)dx\)[/tex]
La funzione integranda in questa forma permette di mettere $frac{x}{sqrt(3)}$ nella formula di riduzione
che ho scritto prima. Devo fare un pò di calcoli per ottenere finalmente :
[tex]\(\int \frac{1}{\left(x^2+3\right)^3} \, dx=\frac{1}{216}\left(\frac{5x+x^3}{\left(1+\frac{x^2}{3}\right)^2}+3\sqrt{3}\text{ArcTan}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}x\right)\right)
+ C\)[/tex]
Per verificare questo risultato posso eseguire la derivata e vedere se ottengo la funzione di partenza.
Infatti è proprio quello che succede e stavolta questo compito è alla portata di Mathematica
che gentilmente mi risparmia un pò di fatica :
[tex]\(\text{Simplify}\left[D\left[\frac{1}{216}\left(\frac{5x+x^3}{\left(1+\frac{x^2}{3}\right)^2}+3\sqrt{3}\text{ArcTan}\left[\frac{\sqrt{3}}{3}x\right]\right),x\right]\right]\) = \(\frac{1}{\left(x^2+3\right)^3}\)[/tex]
spero di esserti stato utile, comunque sono d'accordo con te, questo integrale è proprio
di quelli impestati...c'è da perderci su un sacco di tempo. Ciao.
"Giuly19":
Eh no, mi sembra proprio che non funzioni con la ricorrenza.. alla seconda integrazione si ripete l'integrale ma portandolo di là ho uno 0..
Questo nell'integrazione per parti succede sempre se scambi tra loro il fattore finito con il fattore differenziale effettuando la seconda integrazione.
"dave lizewski":
Come aveva accennato Seneca, questa funzione si integra usando una delle cosidette formule
"di riduzione". In pratica su determinati tipi di funzioni l'integrazione per parti riesce a fornire una
formula ricorsiva che permette di determinare l'integrale di $f^n$ a partire dall'integrale di $f^(n-1)$.
In questo caso la formula da usare è:
[tex]\(\int \frac{1}{\left(1+x^2\right)^n}=\frac{x}{(2n-2)\left(1+x^2\right)^{n-1}}+\frac{2n-3}{2n-2}\int \frac{1}{\left(1+x^2\right)^{n-1}}\)[/tex]
Quello che a me interessa veramente, in realtà, è vedere da dove esce quella formula...
Se vai alla terzultima pagina trovi una discussione dal nome "integrale indefinito" con ultimo intervento di gugo82 che dovrebbe risolvere i tuoi dubbi.
Questo è l'inizio della dimostrazione, poi si prosegue integrando per parti l' ultimo integrale.
La dimostrazione completa si trova in vari libri di analisi.
Forse anche in rete, ma io l'ho trovata direttamente sul libro.
[tex]\(\text{ }\int \frac{1}{\left(1+x^2\right)^n} \, dx \\
=\int \frac{1+x^2-x^2}{\left(1+x^2\right)^n} \, dx \\
=\int \frac{1+x^2}{\left(1+x^2\right)^n} \, dx - \int \frac{x^2}{\left(1+x^2\right)^n} \, dx\\
=\int \frac{1}{\left(1+x^2\right)^{n-1}} \, dx - \int \frac{x^2}{\left(1+x^2\right)^n} \, dx\\
=\int \frac{1}{\left(1+x^2\right)^{n-1}} \, dx - \frac{1}{2}\int x\frac{2x}{\left(1+x^2\right)^n}dx\\
=\int \frac{1}{\left(1+x^2\right)^{n-1}} \, dx - \frac{1}{2}\int x D\left(\frac{\left(1+x^2\right)^{1-n}}{1-n}\right)dx\)[/tex]
Qui di seguito ci sono gli integrali per n= 1,2,3 che si ottengono ciascuno dal precedente applicando
appunto la formula di riduzione
[tex]\(\pmb{\int \frac{1}{\left(1+x^2\right)} \, dx}\)
\end{doublespace}
\begin{doublespace}
\noindent\(\(\arctan(x)\)\)
\end{doublespace}
\begin{doublespace}
\noindent\(\pmb{\int \frac{1}{\left(1+x^2\right)^2} \, dx}\)
\end{doublespace}
\begin{doublespace}
\noindent\(\(\frac{1}{2} \left(\frac{x}{x^2+1}+\arctan(x)\right)\)\)
\end{doublespace}
\begin{doublespace}
\noindent\(\pmb{\int \frac{1}{\left(1+x^2\right)^3} \, dx}\)
\end{doublespace}
\begin{doublespace}
\noindent\(\(\frac{1}{8} \left(\frac{x \left(3 x^2+5\right)}{\left(x^2+1\right)^2}+3 \arctan(x)\right)\)\)
\end{doublespace}[/tex]
penso che queste indicazioni siano sufficienti per giustificare la formula "misteriosa". Ciao.
La dimostrazione completa si trova in vari libri di analisi.
Forse anche in rete, ma io l'ho trovata direttamente sul libro.
[tex]\(\text{ }\int \frac{1}{\left(1+x^2\right)^n} \, dx \\
=\int \frac{1+x^2-x^2}{\left(1+x^2\right)^n} \, dx \\
=\int \frac{1+x^2}{\left(1+x^2\right)^n} \, dx - \int \frac{x^2}{\left(1+x^2\right)^n} \, dx\\
=\int \frac{1}{\left(1+x^2\right)^{n-1}} \, dx - \int \frac{x^2}{\left(1+x^2\right)^n} \, dx\\
=\int \frac{1}{\left(1+x^2\right)^{n-1}} \, dx - \frac{1}{2}\int x\frac{2x}{\left(1+x^2\right)^n}dx\\
=\int \frac{1}{\left(1+x^2\right)^{n-1}} \, dx - \frac{1}{2}\int x D\left(\frac{\left(1+x^2\right)^{1-n}}{1-n}\right)dx\)[/tex]
Qui di seguito ci sono gli integrali per n= 1,2,3 che si ottengono ciascuno dal precedente applicando
appunto la formula di riduzione
[tex]\(\pmb{\int \frac{1}{\left(1+x^2\right)} \, dx}\)
\end{doublespace}
\begin{doublespace}
\noindent\(\(\arctan(x)\)\)
\end{doublespace}
\begin{doublespace}
\noindent\(\pmb{\int \frac{1}{\left(1+x^2\right)^2} \, dx}\)
\end{doublespace}
\begin{doublespace}
\noindent\(\(\frac{1}{2} \left(\frac{x}{x^2+1}+\arctan(x)\right)\)\)
\end{doublespace}
\begin{doublespace}
\noindent\(\pmb{\int \frac{1}{\left(1+x^2\right)^3} \, dx}\)
\end{doublespace}
\begin{doublespace}
\noindent\(\(\frac{1}{8} \left(\frac{x \left(3 x^2+5\right)}{\left(x^2+1\right)^2}+3 \arctan(x)\right)\)\)
\end{doublespace}[/tex]
penso che queste indicazioni siano sufficienti per giustificare la formula "misteriosa". Ciao.
"speculor":
Se vai alla terzultima pagina trovi una discussione dal nome "integrale indefinito" con ultimo intervento di gugo82 che dovrebbe risolvere i tuoi dubbi.
Insomma, clicca qui.
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