Un insieme di Cantor 'modificato'
Salve a tutti,
sto cercando di portare a termine un esercizio dove mi viene chiesto di modificare la classica costruzione dell'insieme di Cantor al fine di generarne uno non di misura nulla.
L'idea di fondo che mi è venuta è stata:
1. da $[0,1]$ rimuovo un intervallo aperto di lunghezza $\frac{1}{4}$ centrato intorno al suo punto medio \(\displaystyle x=\frac{1}{2} \);
2. in ognuno dei $2$ intervalli chiusi rimanenti rimuovo un intervallo aperto di lunghezza $\frac{1}{4^2}$ centrato ognuno intorno al punto medio dell'intervallo chiuso considerato;
3. in ognuno dei $2^2$ intervalli chiusi rimanenti rimuovo un intervallo aperto di lunghezza $\frac{1}{4^3}$ centrato...
...
Chiamiamo $C_n$ l'insieme ottenuto dopo aver applicato l'algoritmo $n$ volte ($C_0 = [0,1]$).
Al passo generico $n$, trovo di conseguenza che la copertura minima che posso trovare per $C_n$ è composta dall'unione di $2^n$ intervalli aperti disgiunti di lunghezza $\frac{1}{4^n}$, dunque la lunghezza totale di tali coperture sarà sempre maggiore di $\frac{1}{2}$, qualsiasi sia $n$.
A questo punto ingenuamente potrei concludere dicendo: l'insieme di Cantor 'modificato' che volevo costruire è semplicemente $\lim_{n\to\infty}C_n$ e dunque poiché ogni copertura è sempre $\geq \frac{1}{2}$ qualunque sia $n$, lo sarà anche il limite per $n\to\infty$.
Ma pensandoci meglio:
$$C=\lim_{n\to\infty}C_n$$
almeno per me, non ha significato, in quanto non ha nessun senso scrivere \(\displaystyle |C_n-C|<\epsilon \). $C$ e i vari $C_n$ sono insiemi.
Se il mio ragionamento iniziale è comunque nella direzione corretta, c'è secondo voi un modo per formalizzarlo bene senza passare per cose strane tipo questa?
Credo che la cosa giusta da fare sia definire in maniera alternativa l'insieme $C$ a cui voglio arrivare, senza passare per l'algoritmo che ho descritto sopra.
Idee?
Vi ringrazio in anticipo.
sto cercando di portare a termine un esercizio dove mi viene chiesto di modificare la classica costruzione dell'insieme di Cantor al fine di generarne uno non di misura nulla.
L'idea di fondo che mi è venuta è stata:
1. da $[0,1]$ rimuovo un intervallo aperto di lunghezza $\frac{1}{4}$ centrato intorno al suo punto medio \(\displaystyle x=\frac{1}{2} \);
2. in ognuno dei $2$ intervalli chiusi rimanenti rimuovo un intervallo aperto di lunghezza $\frac{1}{4^2}$ centrato ognuno intorno al punto medio dell'intervallo chiuso considerato;
3. in ognuno dei $2^2$ intervalli chiusi rimanenti rimuovo un intervallo aperto di lunghezza $\frac{1}{4^3}$ centrato...
...
Chiamiamo $C_n$ l'insieme ottenuto dopo aver applicato l'algoritmo $n$ volte ($C_0 = [0,1]$).
Al passo generico $n$, trovo di conseguenza che la copertura minima che posso trovare per $C_n$ è composta dall'unione di $2^n$ intervalli aperti disgiunti di lunghezza $\frac{1}{4^n}$, dunque la lunghezza totale di tali coperture sarà sempre maggiore di $\frac{1}{2}$, qualsiasi sia $n$.
A questo punto ingenuamente potrei concludere dicendo: l'insieme di Cantor 'modificato' che volevo costruire è semplicemente $\lim_{n\to\infty}C_n$ e dunque poiché ogni copertura è sempre $\geq \frac{1}{2}$ qualunque sia $n$, lo sarà anche il limite per $n\to\infty$.
Ma pensandoci meglio:
$$C=\lim_{n\to\infty}C_n$$
almeno per me, non ha significato, in quanto non ha nessun senso scrivere \(\displaystyle |C_n-C|<\epsilon \). $C$ e i vari $C_n$ sono insiemi.
Se il mio ragionamento iniziale è comunque nella direzione corretta, c'è secondo voi un modo per formalizzarlo bene senza passare per cose strane tipo questa?
Credo che la cosa giusta da fare sia definire in maniera alternativa l'insieme $C$ a cui voglio arrivare, senza passare per l'algoritmo che ho descritto sopra.
Idee?
Vi ringrazio in anticipo.
Risposte
Scusa ma come ti è stato definito l'insieme di Cantor?
Non mi trovo con questo:
Per esempio:
dopo il passo 1, $C_1$ ha lunghezza $\mathcal{L}(C_1)=3/4=1-1/4$ ed è fatto di $2$ segmenti di lunghezza $3/8$;
dopo il passo 2, $C_2$ ha lunghezza $\mathcal{L}(C_2)=5/8=3/4-2*1/16$ ed è fatto di $4$ segmenti di lunghezza $5/32$.
Quindi - ammesso e non concesso che abbia fatto i conti giusti - vedi per induzione che $C_n$ ha lunghezza $\mathcal{L}(C_n)={2^{n+1}+1}/{2^{n+2}}$ ed è fatto di $2^n$ segmenti di lunghezza ${\mathcal{L}(C_n)}/2^n$.
Per la definizione dell'insieme simil-Cantor che hai immaginato puoi fare come si fa anche per l'insieme di Cantor:
"Ianero":
Al passo generico $n$, trovo di conseguenza che la copertura minima che posso trovare per $C_n$ è composta dall'unione di $2^n$ intervalli aperti disgiunti di lunghezza $\frac{1}{4^n}$
Per esempio:
dopo il passo 1, $C_1$ ha lunghezza $\mathcal{L}(C_1)=3/4=1-1/4$ ed è fatto di $2$ segmenti di lunghezza $3/8$;
dopo il passo 2, $C_2$ ha lunghezza $\mathcal{L}(C_2)=5/8=3/4-2*1/16$ ed è fatto di $4$ segmenti di lunghezza $5/32$.
Quindi - ammesso e non concesso che abbia fatto i conti giusti - vedi per induzione che $C_n$ ha lunghezza $\mathcal{L}(C_n)={2^{n+1}+1}/{2^{n+2}}$ ed è fatto di $2^n$ segmenti di lunghezza ${\mathcal{L}(C_n)}/2^n$.
Per la definizione dell'insieme simil-Cantor che hai immaginato puoi fare come si fa anche per l'insieme di Cantor:
[*:2k0kmzhi] ogni $C_n$ è chiuso in quanto unione finita di chiusi;[/*:m:2k0kmzhi]
[*:2k0kmzhi] risulta evidentemente
\[C_1\supseteq C_2\supseteq C_3\supseteq \cdots\][/*:m:2k0kmzhi]
[*:2k0kmzhi] per qualche teorema di Analisi 1 simil-teorema degli zeri di cui ora non ricordo il nome (che dice sostanzialmente che, se hai degli intervalli chiusi non vuoti e "inscatolati" tipo matrioska, allora la loro intersezione è non vuota - o qualcosa di molto simile: cerca), l'insieme
\[C:=\bigcap_n C_n\]
è un chiuso non vuoto;[/*:m:2k0kmzhi]
[*:2k0kmzhi] per le proprietà della misura di lunghezza si ha:
\[\mathcal{L}(C)=\lim_{n\to \infty}\mathcal{L}(C_n)= 0\] [/*:m:2k0kmzhi][/list:u:2k0kmzhi]
Giusto per curiosità, questi insiemi si chiamano "di Cantor grassi" (fat Cantor sets).
@otta96 come l'insieme dei reali seguenti:
$$ \sum_{k\in\mathbb{N}}\frac{\alpha_k}{3^k} $$
dove \(\displaystyle \alpha_k\in\{0,2\} \).
@Plepp quello che volevo dire era che al primo step, come anche tu dici, ho che $C_1$ è lungo $1-\frac{1}{4}$. Al secondo step $C_2$ è lungo $1-\frac{1}{4}-\frac{2}{4^2}$. All'n-esimo step $C_n$ è lungo:
$$1-\frac{1}{4}-\frac{2}{4^2}-\frac{2^2}{4^3}-...-\frac{2^n}{4^{n+1}}$$
ovvero:
$$1-\frac{1}{4}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{2}{4}\right)^k > 1-\frac{1}{4}\left(\frac{1}{1-\frac{1}{2}}\right) =\frac{1}{2}$$
Dove sbaglio in questo discorso? Non ho capito come fai a concludere per ottenere la tua formula.
@dissonance buono a sapersi!
Grazie a tutti.
$$ \sum_{k\in\mathbb{N}}\frac{\alpha_k}{3^k} $$
dove \(\displaystyle \alpha_k\in\{0,2\} \).
@Plepp quello che volevo dire era che al primo step, come anche tu dici, ho che $C_1$ è lungo $1-\frac{1}{4}$. Al secondo step $C_2$ è lungo $1-\frac{1}{4}-\frac{2}{4^2}$. All'n-esimo step $C_n$ è lungo:
$$1-\frac{1}{4}-\frac{2}{4^2}-\frac{2^2}{4^3}-...-\frac{2^n}{4^{n+1}}$$
ovvero:
$$1-\frac{1}{4}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{2}{4}\right)^k > 1-\frac{1}{4}\left(\frac{1}{1-\frac{1}{2}}\right) =\frac{1}{2}$$
Dove sbaglio in questo discorso? Non ho capito come fai a concludere per ottenere la tua formula.
@dissonance buono a sapersi!
Grazie a tutti.
"Ianero":
@otta96 come l'insieme dei reali seguenti:
$$ \sum_{k\in\mathbb{N}}\frac{\alpha_k}{3^k} $$
dove \(\displaystyle \alpha_k\in\{0,2\} \).
E perché quella che hai proposto ti sembra una modificazione della definizione dell'insieme di Cantor?
Perché l'avevo data come intersezione infinita di intervalli chiusi e non come una 'lista' di numeri reali generati sommando delle opportune frazioni.
"Ianero":
Ma pensandoci meglio:
$$C=\lim_{n\to\infty}C_n$$
almeno per me, non ha significato, in quanto non ha nessun senso scrivere \(\displaystyle |C_n-C|<\epsilon \). $C$ e i vari $C_n$ sono insiemi.
E allora perché non hai fatto l'intersezione anche qui?
In realtà è il contrario, cercavo di trovare una definizione del mio insieme 'grasso' attraverso dei vincoli sulle rappresentazioni q-arie dei suoi elementi senza passare attraverso le intersezioni infinite.
Credo che però non si possa fare in maniera elegante come per il classico insieme di Cantor, almeno per quell'insieme che ho descritto in [1].
Credo che però non si possa fare in maniera elegante come per il classico insieme di Cantor, almeno per quell'insieme che ho descritto in [1].
"Ianero":
@Plepp quello che volevo dire era che al primo step, come anche tu dici, ho che $C_1$ è lungo $1-\frac{1}{4}$. Al secondo step $C_2$ è lungo $1-\frac{1}{4}-\frac{2}{4^2}$. All'n-esimo step $C_n$ è lungo:
$$1-\frac{1}{4}-\frac{2}{4^2}-\frac{2^2}{4^3}-...-\frac{2^n}{4^{n+1}}$$
ovvero:
$$1-\frac{1}{4}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{2}{4}\right)^k > 1-\frac{1}{4}\left(\frac{1}{1-\frac{1}{2}}\right) =\frac{1}{2}$$
Dove sbaglio in questo discorso? Non ho capito come fai a concludere per ottenere la tua formula.
@dissonance buono a sapersi!
Grazie a tutti.
Oggi nella fretta ho sbagliato a calcolare il limite: $C$ ha lunghezza $1/2$. Chiedo venia.
A quale mia formula ti riferisci?
No niente, tutto ok, ora ci troviamo 
Quello che ho scritto qui è vero oppure secondo voi si poteva anche definire elegantemente attraverso delle restrizioni delle espansioni q-arie?
Quello che ho scritto qui è vero oppure secondo voi si poteva anche definire elegantemente attraverso delle restrizioni delle espansioni q-arie?
"Ianero":
In realtà è il contrario, cercavo di trovare una definizione del mio insieme 'grasso' attraverso dei vincoli sulle rappresentazioni q-arie dei suoi elementi senza passare attraverso le intersezioni infinite.
Credo che però non si possa fare in maniera elegante come per il classico insieme di Cantor, almeno per quell'insieme che ho descritto in [1].
A riprova del fatto che vuole che io modifichi la costruzione dell'insieme di Cantor solo attraverso opportune restrizioni sulle rappresentazioni q-esimali, mi chiede immediatamente dopo:
Show that the function on [0,1] defined to be zero outside a Cantor set and 1 on the Cantor set is Riemann integrable if and only if the Cantor set has measure zero.
Sono riuscito a dimostrare che tale funzione è integrabile se come Cantor Set si considera quello classico, poiché ho mostrato prima che tra due elementi di $C$ c'è sempre un reale di mezzo ($f$ discontinua in tutti i $c\in C$) e poi ho mostrato che \(\displaystyle \forall x \in [0,1] \setminus C \) esiste un intorno di $x$ senza elementi di $C$ ($f$ continua in tutti gli \(\displaystyle x\in [0,1]\setminus C \) ).
Questo ragionamento come lo estendo a tutti gli altri insiemi di Cantor 'Fat' se non ho a disposizione una rappresentazione q-esimale di come sono fatti i suoi elementi?
Show that the function on [0,1] defined to be zero outside a Cantor set and 1 on the Cantor set is Riemann integrable if and only if the Cantor set has measure zero.
Sono riuscito a dimostrare che tale funzione è integrabile se come Cantor Set si considera quello classico, poiché ho mostrato prima che tra due elementi di $C$ c'è sempre un reale di mezzo ($f$ discontinua in tutti i $c\in C$) e poi ho mostrato che \(\displaystyle \forall x \in [0,1] \setminus C \) esiste un intorno di $x$ senza elementi di $C$ ($f$ continua in tutti gli \(\displaystyle x\in [0,1]\setminus C \) ).
Questo ragionamento come lo estendo a tutti gli altri insiemi di Cantor 'Fat' se non ho a disposizione una rappresentazione q-esimale di come sono fatti i suoi elementi?
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