Un funzionale semicontinuo

[DavideGenova1]

Ciao, amici! Nello spazio metrico \((M,\rho)\) delle funzioni reali limitate $[a,b]\to\mathbb{R}$ con distanza \(\rho(\varphi,\psi)=\sup_{t\in[a,b]}|\varphi(t)-\psi(t)|\) leggo che il funzionale $M\to\mathbb{R}\cup \{+\infty\}$ definito da\[L_{a}^b(f)=\sup \sum_{i=1}^n \sqrt{(x_i-x_{i-1})^2+(f(x_i)-f(x_{i-1}))^2}\]dove l'estremo superiore si riferisce a tutte le possibili partizioni di $[a,b]$ (la lunghezza della curva) è semicontinuo inferiormente, cioè che \(\forall\varepsilon>0\exists\delta:\forall f\in B(f_0,\delta)\quad L_{a}^b(f)>L_{a}^b(f_0)-\varepsilon\). Dopo una serata e quasi nottata di ricerche e tentativi personali di dimostrazione non giungo a nulla... Dato che ho l'impressione che si tratti di un esempio piuttosto standard provo a chiedere qui...
Grazie di cuore a chi mi tiri un salvagente!

[DavideGenova1]

Trovato. Mi rispondo da solo caso mai qualcuno si fosse posto la domanda passando di qui senza trovare risposta come me. La 8.3 citata nel teorema 8.6, assente nell'anteprima, l'ho trovata comunque altrove.