Un esercizio sull'integrabilità delle funzioni con un numero finito di discontinuiità

[marco2132k]

\( \newcommand{\oint}[2]{\left]{#1},{#2}\right[} \)\( \newcommand{\cint}[2]{\left[{#1},{#2}\right]} \)Ciao. A lezione mi fu detto che una funzione \( f\colon \cint ab\to \mathbb R \) è integrabile secondo Riemann se e solo se l'insieme delle sue discontinuità ha misura di Lebesgue nulla.

Un esercizio sull'integrale di Riemann mi chiede di provare con le mani questo fatto quando l'insieme delle discontinuità della funzione abbia cardinalità finita.

Provo a farlo per un solo punto \( c\in \cint ab \), per rinfrescarmi la memoria (poi penso che si possa procedere per induzione). Spero di non fare cavolate (la dimostrazione di Vitali-Lebesgue che ho visto io è completamente diversa, a ragione).

Qui do un po' di definizioni.

Chiamo suddivisione di \( \cint ab \) un qualsiasi insieme finito \( \{t_0,\cdots,t_n\} \) di punti dell'intervallo, tali che \( t_0 = a \), \( t_n = b \) e tali che \( t_0 < \cdots < t_n \). Se \( f\colon \cint ab\to \mathbb R \) è una funzione e \( P = \{t_0,\cdots,t_n\} \) è una suddivisione di \( \cint ab \), pongo
\[
m_i = \inf\{f(x) : x\in \cint{t_{i - 1}}{t_i}\}\qquad M_i = \sup\{f(x) : x\in \cint{t_{i - 1}}{t_i}\}
\] per ogni \( i = 1,\dots,n \). Inoltre, definisco la somma inferiore e la somma superiore di \( f \) rispetto alla suddivisione \( P \) come le somme
\[
L(f,P) = \sum_{i = 1}^n m_i(t_i - t_{i - 1})\qquad U(f,P) = \sum_{i = 1}^n m_i(t_i - t_{i - 1})\text{.}
\]

Dimostrazione. Uso il fatto che una funzione è Riemann-integrabile se e solo se la differenza tra una somma interiore e una somma superiore relative alla stessa partizione può essere fatta piccola a piacere. In altre parole, dimostro che per ogni \( \epsilon > 0 \), esiste una partizione \( P \) (in seguito, \( P_\delta \)) di \( \cint ab \), tale che
\[
U(f,P) - L(f,P) < \epsilon\text{.}
\] Sia \( \epsilon > 0 \). Scelto un \( \delta > 0 \), la funzione \( f \) è continua separatamente sugli intervalli chiusi \( \cint{a}{c - \delta} \) e \( \cint{c + \delta}{b} \), ed esistono rispettivamente due partizioni \( P_\delta^\prime \) e \( P_\delta^{\prime\prime} \) tali che
\[
\begin{aligned}
U(f{\restriction_{\cint{a}{c - \delta}}},P_\delta^\prime) - L(f{\restriction_{\cint{a}{c - \delta}}},P_\delta^\prime) &< \frac{\epsilon}{2}\\
U(f{\restriction_{\cint{c + \delta}{b}}},P_\delta^{\prime\prime}) - L(f{\restriction_{\cint{c + \delta}{b}}},P_\delta^{\prime\prime}) &< \frac{\epsilon}{2}\text{.}
\end{aligned}
\] Sia dunque \( P_\delta = \{t_0,\dots,t_n\} \) la partizione di \( \cint ab \) ottenuta unendo le partizioni \( P_\delta^\prime \) e \( P_\delta^{\prime\prime} \), e facciamo che \( t_j = c + \delta\). Con passaggi un po' tediosi ma assolutamente banali (i quali quindi non riporto), si giunge a
\[
U(f,P_\delta) - U(f,P_\delta) = U(f{\restriction_{\cint{a}{c - \delta}}},P_\delta^\prime) - L(f{\restriction_{\cint{a}{c - \delta}}},P_\delta^\prime) + (M_j - m_j)\,2\delta + U(f{\restriction_{\cint{c + \delta}{b}}},P_\delta^{\prime\prime}) - L(f{\restriction_{\cint{c + \delta}{b}}},P_\delta^{\prime\prime})
\] e quindi a poter dire che
\[
U(f,P_\delta) - L(f,P_\delta) < \epsilon + (M_j - m_j)\,2\delta\text{.}
\] Adesso ho dimostrato (facendo attenzione al fatto che la quantità \( M_j - m_j \) non è una costante, ma dipende da \( \delta \)) che
\[
\lim_{\substack{\delta\to 0\\\delta > 0}}(M_j - m_j)\, 2\delta = \lim_{\substack{\delta\to 0\\\delta > 0}}\operatorname{diam}{\{f(x) : x\in \cint{c - \delta}{c + \delta}\}}\,2\delta = 0\text{.}
\] ma non so bene come concludere da qui (appunto, perché la quantità \( M_j - m_j \) dipende da \( \delta \)). Non dovrebbe essere niente di chissà che complicato, comunque...

[marco2132k]

\( \newcommand{\oint}[2]{\left]{#1},{#2}\right[} \)\( \newcommand{\cint}[2]{\left[{#1},{#2}\right]} \)Ho capito come fare.

Credo manchi l'ipotesi della limitatezza di \( f \). Se \( \lvert f\rvert < M \) per qualche \( M > 0 \), allora nelle notazioni precedenti si ha
\[
M_j - m_j \leqq \operatorname{diam}f(\cint ab) \leqq 2M
\] e si può concludere prendendo \( \delta \) tale che \( 2M\, 2\delta < 1/3\epsilon \). In tal caso si ha, in effetti, che preso \( \epsilon > 0 \) è
\[
\begin{aligned}
U(f{\restriction_{\cint{a}{c - \delta}}},P_\delta^\prime) - L(f{\restriction_{\cint{a}{c - \delta}}},P_\delta^\prime) &< \frac{\epsilon}{3}\\
U(f{\restriction_{\cint{c + \delta}{b}}},P_\delta^{\prime\prime}) - L(f{\restriction_{\cint{c + \delta}{b}}},P_\delta^{\prime\prime}) &< \frac{\epsilon}{3}
\end{aligned}
\] da cui
\[
U(f,P_\delta) - L(f,P_\delta) < \frac{2\epsilon}{3} + (M_j - m_j)\,2\delta < \frac{2\epsilon}{3} + 2M\, 2\delta < \epsilon
\] e quindi la dimostrazione è fatta. \( \square \)