Un esercizio sulle serie di funzioni

[gugo82]

Propongo un esercizio sulle serie di funzioni abbastanza abbordabile per chi ha studiato Analisi II.
Come al solito, consiglio di non partire subito coi conti, ma di guardare attentamente il problema (casomai facendo qualche disegno).

***

Problema:

Sia:

[tex]\text{u}(t):=\begin{cases} 0 & \text{, se } t<0 \\
1 & \text{, se } t\geq 0 \end{cases}[/tex]

(questa funzione è detta gradino unitario o anche step function).

Dimostrare che la serie di funzioni [tex]$\sum_{n\in \mathbb{N}} \text{u}(t-n\pi) \sin(t-n\pi)$[/tex] è convergente puntualmente in [tex]\mathbb{R}[/tex], calcolarne la somma ed infine studiarne la convergenza uniforme.

[fu^2]

[tex]\displaystyle\sum_{n}u(t-n\pi)\sin(t-n\pi)\leq \mid \displaystyle\sum_{n}u(t-n\pi)\sin(t-n\pi) \mid \leq \displaystyle\sum_{n}\mid u(t-n\pi)\mid[/tex], fissato [tex]t\in\mathbb{R}, \exists N\in \mathbb{N}:\forall n>N, t-n\pi<0[/tex] per la propietà archimedea dei numeri reali, quindi quest'ultima serie converge essendo che [tex]\displaystyle\sum_{n>N}u(t-n\pi)\sin(t-n\pi)=0[/tex].

la somma: se [tex]t<0[/tex] la somma è ovvia, è zero .

Se [tex]t=0[/tex] si salva solo il primo termine ($n=0$) quindi la somma è [tex]\sin(0)=0[/tex]

ora, usando un pò di formule di addizione dei seni: $\sin(t-\pi n)=$ se $n$ è pari otteniamo $\sin(t-2k\pi)=\sin(t)$, se $n$ è dispari invece $\sin(t-(2k+1)\pi)=-\sin(t)$

Quindi la serie la possiamo scrivere come [tex]\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}u(t-n\pi)(-)^n\sin(t)=\sin(t)\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(-)^nu(t-n\pi)=\sin(t)\displaystyle\sum_{n=0}^{[\frac{t}{\pi}]}(-)^n[/tex] dove $[\frac{t}{\pi}]$ è la parte intera del numero. La serie si è dunque trasformata in una somma finita.

Sipponiamo $[\frac{t}{\pi}]>0$, in caso contrario la serie è nulla (come discusso prima).

Abbiamo due casi: se $[\frac{t}{\pi}]=2k$, per qualche $k$ naturale. In questo caso l'insieme in cui varia $n$ è ${0,...,2k}$ ovvero ci sono un numero dispari di numeri, quindi rimane solo l'ultimo termine che è con potenza pari, quindi la serie vale esattamente [tex]\sin(t)[/tex].
Se $[\frac{t}{\pi}]=2k+1$ allora ci sono un numero pari di termini in quanto la serie parte da zero. Quindi ci sono $k+1$ meno e $k+1$ più, quindi la serie fa zero.

Ricapitolando [tex]\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}u(t-n\pi)\sin(t-n\pi)=\begin{cases}0 &, t\leq 0 \\ \sin(t) &, [\frac{t}{\pi}]=2k \\ 0 &, [\frac{t}{\pi}]=2k+1\end{cases}[/tex]

infine la convergenza uniforme: vediamo cos'è il sup: [tex]\displaystyle\sup_{t\in \mathbb{R}}\mid u(t-n\pi)\sin(t-n\pi)\mid =\displaystyle\sup_{t\in [n\pi,+\infty)}\mid\sin(t-n\pi)\mid=\displaystyle\sup_{t\in [n\pi,+\infty)}\mid\sin(t)\mid=1[/tex] quindi non c'è convergenza uniforme.

vediamo quante cavolate ho detto
ciao!

[gugo82]

Ok, la somma è corretta, ma può essere messa in una forma più semplice... Cui saresti arrivato facendo un paio di disegni delle somme parziali.
Trovala, su!

Per la convergenza uniforme, ok non c'è in [tex]\mathbb{R}[/tex] ma c'è su qualche sottoinsieme di [tex]\mathbb{R}[/tex]?


P.S.: Nell'espressione della somma ci va un [tex]t<0[/tex] al primo caso.

[fu^2]

leq e geq le confondo sempre
ora correggo.

La convergenza uniforme la si ha banalmente in tutti gli intervalli e sottoinsimi di $(-\infty,0]$ essendo che in questo intervallo il termine generale di cui studiamo il sup è costante e vale zero.

Se consideriamo intervalli dove $u(t-n\pi)$ non è nulla, così a cocchio, per quanto mostrato prima si ottine come risultato che il sup lo si può scrivere come [tex]\displaystyle\sup_{t\in [n\pi,+\infty)}|\sin(t)|[/tex] in quanto [tex]\displaystyle\sup_{t\in (-\infty,n\pi)}|u(t-n\pi)\sin(t)|=0[/tex] per come è definita la funzione $u(x)$.

Fissiamo $M,N>0$ avremo che [tex]\displaystyle\sup_{t\in [-N,M]}|u(t-n\pi)\sin(t)|[/tex] sarà definitivamente zero (non appena $n\pi>M$), da cui si ottiene la convergenza uniforme su tutti gli intervalli del tipo $[-N,M]$ essendo che la serie è a termini definitivamente nulli (e quindi converge).

In generale su l' unione di intervalli limitati e ancora più in generale su tutti gli insiemi limitati dall'alto (ovvero che ammettono un maggiorante reale) se si riusa il ragionamento visto pocanzi si nota che c'è convergenza uniforme.

Forse sarebbe stato meglio aspettare domani a rispondere a mente fresca, minimizzando gli errori però amen

[gugo82]

Ok, c'è convergenza uniforme (anzi totale) su ogni insieme superiormente limitato.
Bravo fu^2!

Per quanto riguarda la somma, fai un po' di conti domani a mente fresca (ma è facile, davvero: basta fare un disegnino delle prime somme -diciamo quelle d'indici [tex]0,\ldots ,5[/tex]- parziali per capire come va a finire la faccenda... e ricordare com'è definita la funzione parte positiva. ).