Un esercizio sulla (dis)/parità e legame con $erf(x)$
Ciao a tutti,
mi trovo di fronte a questo esercizio:
<< $Phi(x)=int_(-oo)^(x)1/sqrt(2pi)*e^(-t^2/2)dt$ è pari o dispari, perchè ? Che relazione esiste con la $erf(x)$?>>
Mia soluzione:
Per lo stranoto integrale di Gauss si ha:
$int_(-oo)^(+oo)1/sqrt(2pi)*e^(-t^2/2)dt= 1 = int_(-oo)^(-x)1/sqrt(2pi)*e^(-t^2/2)dt + int_(-x)^(+oo)1/sqrt(2pi)*e^(-t^2/2)dt$
Poichè $1/sqrt(2pi)*e^(-t^2/2)$ è pari si ha che:
$int_(-x)^(+oo)1/sqrt(2pi)*e^(-t^2/2)dt=int_(-oo)^(x)1/sqrt(2pi)*e^(-t^2/2)dt=Phi(x)$
Quindi:
$Phi(-x)=1-Phi(x)$.
Perciò non è pari nè dispari.
Per quanto riguarda la relazione con la $erf(x)$:
$erf(x)=2/sqrt(pi)int_(0)^xe^(-t^2)dt$
$Phi(x)=int_(-oo)^(x)1/sqrt(2pi)*e^(-t^2/2)dt=int_(-oo)^(0)1/sqrt(2pi)*e^(-t^2/2)dt+int_(0)^(x)1/sqrt(2pi)*e^(-t^2/2)dt$
Sempre sfruttando il fatto che l'integrando è pari:
$int_(-oo)^(0)1/sqrt(2pi)*e^(-t^2/2)dt=1/2$
Per l'altro integrale faccio la sostituzione: $t/sqrt(2)=h -> t=sqrt(2)h ->dt/(dh)=sqrt(2)$
$int_(0)^(x)1/sqrt(2pi)*e^(-t^2/2)dt=int_(0)^(x/sqrt(2))e^(-h^2)dh=1/2erf(x/sqrt(2))$
Sommando:$Phi(x)=1/2*[1+erf(x/sqrt(2))]$.
Che dite può andare bene ??
Potete darmi un parere sull'esattezza o meno di queste conclusioni:
Mi pare che l'intento dell'esercizio fosse quello di portare a una conclusione errata del tipo: se l'integrando è pari allora la funzione integrale è dispari.
Quando in realtà vale che se l'integrando è pari (nell'ipotesi che sia una funzione integrabile) la funzione integrale è dispari solo se "passa per l'origine", ovvero è la primitiva che si ottiene tramite integrazione indefinita ponendo la costante additiva nulla .
Comunque dal momento che $Phi(0)!=0$ sicuramente non è dispari,non è pari invece perchè la funzione integranda è pari.
Vi ringrazio tanto in anticipo !!
mi trovo di fronte a questo esercizio:
<< $Phi(x)=int_(-oo)^(x)1/sqrt(2pi)*e^(-t^2/2)dt$ è pari o dispari, perchè ? Che relazione esiste con la $erf(x)$?>>
Mia soluzione:
Per lo stranoto integrale di Gauss si ha:
$int_(-oo)^(+oo)1/sqrt(2pi)*e^(-t^2/2)dt= 1 = int_(-oo)^(-x)1/sqrt(2pi)*e^(-t^2/2)dt + int_(-x)^(+oo)1/sqrt(2pi)*e^(-t^2/2)dt$
Poichè $1/sqrt(2pi)*e^(-t^2/2)$ è pari si ha che:
$int_(-x)^(+oo)1/sqrt(2pi)*e^(-t^2/2)dt=int_(-oo)^(x)1/sqrt(2pi)*e^(-t^2/2)dt=Phi(x)$
Quindi:
$Phi(-x)=1-Phi(x)$.
Perciò non è pari nè dispari.
Per quanto riguarda la relazione con la $erf(x)$:
$erf(x)=2/sqrt(pi)int_(0)^xe^(-t^2)dt$
$Phi(x)=int_(-oo)^(x)1/sqrt(2pi)*e^(-t^2/2)dt=int_(-oo)^(0)1/sqrt(2pi)*e^(-t^2/2)dt+int_(0)^(x)1/sqrt(2pi)*e^(-t^2/2)dt$
Sempre sfruttando il fatto che l'integrando è pari:
$int_(-oo)^(0)1/sqrt(2pi)*e^(-t^2/2)dt=1/2$
Per l'altro integrale faccio la sostituzione: $t/sqrt(2)=h -> t=sqrt(2)h ->dt/(dh)=sqrt(2)$
$int_(0)^(x)1/sqrt(2pi)*e^(-t^2/2)dt=int_(0)^(x/sqrt(2))e^(-h^2)dh=1/2erf(x/sqrt(2))$
Sommando:$Phi(x)=1/2*[1+erf(x/sqrt(2))]$.
Che dite può andare bene ??
Potete darmi un parere sull'esattezza o meno di queste conclusioni:
Mi pare che l'intento dell'esercizio fosse quello di portare a una conclusione errata del tipo: se l'integrando è pari allora la funzione integrale è dispari.
Quando in realtà vale che se l'integrando è pari (nell'ipotesi che sia una funzione integrabile) la funzione integrale è dispari solo se "passa per l'origine", ovvero è la primitiva che si ottiene tramite integrazione indefinita ponendo la costante additiva nulla .
Comunque dal momento che $Phi(0)!=0$ sicuramente non è dispari,non è pari invece perchè la funzione integranda è pari.
Vi ringrazio tanto in anticipo !!
Risposte
Tutto giusto.
Ti ringrazio gugo !!!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo