Un esercizio sul teorema di esistenza ed unicità
Riporto un problema che aveva già postato, ma metto il mio procedimento, la traccia è:
Si provi che per ogni $(x_0,y_0) in RR^2$ esiste una ed una sola soluzione dell'equazione differenziale
$y'=x(|y|-3)$
definita in $RR$ tale che $y(x_0)=y_0$.
Si determini poi la soluzione dell'equazione differenziale definita in $RR$ e tale che $y(0)=2$.
Ecco il mio procedimento.
Applico il teorema di esistenza ed unicità, partendo dal mostrare che la funzione è lipschitziana:
$|f(x,y_1)-f(x,y_2)| = |x|*||y_1|-|y_2|| <= |x|*|y1-y2|$
Per $|y|=3$ ho che $y=3 $ V $y=-3$
Per $|y|!=3 => y^{\prime}/(|y|-3)=x$
Vado ora a distinguere i due casi:
$|y|>0 $ (su questo primo caso sono quasi certo di non aver sbagliato, quindi potreste anche non vederlo)
$ y^{\prime}/(y-3)=x =>
$int y^'/(y-3) = int x dx =>$
$ln|y-3| = x^2/2 + c =>$
$|y-3| = e^(x^2/2+c) =>$
$y-3 =ce^(x^2/2) =>$
$y=3+ce^(x^2/2) > 0 =>$
$ ce^(x^2/2) > -3$
Studiando il segno della costante c, ottengo che se $c>=0$ la disequazione è vera $AAx$, mentre se $c<0$ si ha che $e^(x^2/2) < 3/c$.
Impongo ora che $y(0) = 2 => 3+ce^0 = 2 => 3+c = 2 => c=-1 < 0$
Sostituisco quindi la c ottenuta ed ho: $e^(x^2/2) < 3 => -sqrt(ln9) <= x <= +sqrt(ln9)$
Da cui ho la prima soluzione $\phi_1 : x in [-sqrt(ln9),+sqrt(ln9)] rarr 3-e^(x^2/2) in RR$
Su questo secondo caso invece ho dei problemi:
$|y|<=0 => y^'/(y+3)=-x => int y^'/(y+3) = -int x dx => ln|y+3| = -(x^2/2 + c) => ln(-y-3) = -(x^2/2 + c) => -ln(y+3) = -(x^2/2 + c) => y+3 =ce^(x^2/2) => y = ce^(x^2/2) - 3 <= 0 => e^(x^2/2) <= 3 $
Di nuovo studio il segno della c, ottenendo che se $c <= 0$ la disequazione è vera $AAx$ mentre se $c > 0$ si ha $e^(x^2/2) <= 3/c $
1)Impongo la condizione $y(0)=2 => ce^0 - 3 = 2 => c=5 > 0 $
2)Sostituisco la c ottenuta : $e^(x^2/2) <= 3/5 > 0 => -sqrt(ln9/25) <= x <= +sqrt(ln9/25)$
Da cui poi si troverebbe in modo analogo al caso precedente la seconda souzione $\phi_2$
I miei dubbi sono:
1) Ha senso nel caso $y <= 0$ andare ad imporre la condizione $y(0)=2 > 0$?
2) il dominio della x che mi aspettavo era quello complementare ad $RR$ di $[-sqrt(ln9),+sqrt(ln9)]$, quando invece ottengo una cosa completamente diversa, dove ho sbagliato?
3) Andando avanti dovrei far vedere che la funzione $\phi$, che ha per dominio tutto $RR$, è continua in $RR$ (quindi fare anche i limiti nei punti $x = -sqrt(ln9)$ ed $x = sqrt(ln9)$) e poi far vedere che anche la sua derivata prima è continua per poter completare l'esercizio, giusto?
Un grazie anticipato per l'eventuale risposta.
Si provi che per ogni $(x_0,y_0) in RR^2$ esiste una ed una sola soluzione dell'equazione differenziale
$y'=x(|y|-3)$
definita in $RR$ tale che $y(x_0)=y_0$.
Si determini poi la soluzione dell'equazione differenziale definita in $RR$ e tale che $y(0)=2$.
Ecco il mio procedimento.
Applico il teorema di esistenza ed unicità, partendo dal mostrare che la funzione è lipschitziana:
$|f(x,y_1)-f(x,y_2)| = |x|*||y_1|-|y_2|| <= |x|*|y1-y2|$
Per $|y|=3$ ho che $y=3 $ V $y=-3$
Per $|y|!=3 => y^{\prime}/(|y|-3)=x$
Vado ora a distinguere i due casi:
$|y|>0 $ (su questo primo caso sono quasi certo di non aver sbagliato, quindi potreste anche non vederlo)
$ y^{\prime}/(y-3)=x =>
$int y^'/(y-3) = int x dx =>$
$ln|y-3| = x^2/2 + c =>$
$|y-3| = e^(x^2/2+c) =>$
$y-3 =ce^(x^2/2) =>$
$y=3+ce^(x^2/2) > 0 =>$
$ ce^(x^2/2) > -3$
Studiando il segno della costante c, ottengo che se $c>=0$ la disequazione è vera $AAx$, mentre se $c<0$ si ha che $e^(x^2/2) < 3/c$.
Impongo ora che $y(0) = 2 => 3+ce^0 = 2 => 3+c = 2 => c=-1 < 0$
Sostituisco quindi la c ottenuta ed ho: $e^(x^2/2) < 3 => -sqrt(ln9) <= x <= +sqrt(ln9)$
Da cui ho la prima soluzione $\phi_1 : x in [-sqrt(ln9),+sqrt(ln9)] rarr 3-e^(x^2/2) in RR$
Su questo secondo caso invece ho dei problemi:
$|y|<=0 => y^'/(y+3)=-x => int y^'/(y+3) = -int x dx => ln|y+3| = -(x^2/2 + c) => ln(-y-3) = -(x^2/2 + c) => -ln(y+3) = -(x^2/2 + c) => y+3 =ce^(x^2/2) => y = ce^(x^2/2) - 3 <= 0 => e^(x^2/2) <= 3 $
Di nuovo studio il segno della c, ottenendo che se $c <= 0$ la disequazione è vera $AAx$ mentre se $c > 0$ si ha $e^(x^2/2) <= 3/c $
1)Impongo la condizione $y(0)=2 => ce^0 - 3 = 2 => c=5 > 0 $
2)Sostituisco la c ottenuta : $e^(x^2/2) <= 3/5 > 0 => -sqrt(ln9/25) <= x <= +sqrt(ln9/25)$
Da cui poi si troverebbe in modo analogo al caso precedente la seconda souzione $\phi_2$
I miei dubbi sono:
1) Ha senso nel caso $y <= 0$ andare ad imporre la condizione $y(0)=2 > 0$?
2) il dominio della x che mi aspettavo era quello complementare ad $RR$ di $[-sqrt(ln9),+sqrt(ln9)]$, quando invece ottengo una cosa completamente diversa, dove ho sbagliato?
3) Andando avanti dovrei far vedere che la funzione $\phi$, che ha per dominio tutto $RR$, è continua in $RR$ (quindi fare anche i limiti nei punti $x = -sqrt(ln9)$ ed $x = sqrt(ln9)$) e poi far vedere che anche la sua derivata prima è continua per poter completare l'esercizio, giusto?
Un grazie anticipato per l'eventuale risposta.
Risposte
"goron":
Vado ora a distinguere i due casi:
$|y|>0 $ (su questo primo caso sono quasi certo di non aver sbagliato, quindi potreste anche non vederlo)
...
Su questo secondo caso invece ho dei problemi:
$|y|<=0 => y^{\prime}/(y+3)=-x => int y^{\prime}/(y+3) = -int x dx => ln|y+3| = -(x^2/2 + c) => ln(-y-3) = -(x^2/2 + c) => -ln(y+3) = -(x^2/2 + c) => y+3 =ce^(x^2/2) => y = ce^(x^2/2) - 3 <= 0 => e^(x^2/2) <= 3 $
Di nuovo studio il segno della c, ottenendo che se $c <= 0$ la disequazione è vera $AAx$ mentre se $c > 0$ si ha $e^(x^2/2) <= 3/c $
1)Impongo la condizione $y(0)=2 => ce^0 - 3 = 2 => c=5 > 0 $
2)Sostituisco la c ottenuta : $e^(x^2/2) <= 3/5 > 0 => -sqrt(ln9/25) <= x <= +sqrt(ln9/25)$
Da cui poi si troverebbe in modo analogo al caso precedente la seconda souzione $\phi_2$
I miei dubbi sono:
1) Ha senso nel caso $y <= 0$ andare ad imporre la condizione $y(0)=2 > 0$?
2) il dominio della x che mi aspettavo era quello complementare ad $RR$ di $[-sqrt(ln9),+sqrt(ln9)]$, quando invece ottengo una cosa completamente diversa, dove ho sbagliato?
3) Andando avanti dovrei far vedere che la funzione $\phi$, che ha per dominio tutto $RR$, è continua in $RR$ (quindi fare anche i limiti nei punti $x = -sqrt(ln9)$ ed $x = sqrt(ln9)$) e poi far vedere che anche la sua derivata prima è continua per poter completare l'esercizio, giusto?
Brevemente:
- attenzione, i casi da distinguere non sono $|y| > 0$ e $|y| < 0$ ma $y>0$ e $y<0$
- ovviamente il "secondo caso" non ti interessa, vista la condizione iniziale
-Si, qui ho fatto un errore di copiatura dal quaderno. Ma per y=0 invece (che ho incluso nella seconda parte)?
-Il problema è che la traccia mi chiede la soluzione dell'equazione differenziale definita in $RR$, quando invece ad $RR$ non ci arrivo: utilizzo soltanto il dominio della funzione $\phi_1$ oppure c'è qualche altro passaggio che dovrei fare per estenderlo ad $RR$ (tipo ciò che stavo cercando vanamente di fare)?
-Il problema è che la traccia mi chiede la soluzione dell'equazione differenziale definita in $RR$, quando invece ad $RR$ non ci arrivo: utilizzo soltanto il dominio della funzione $\phi_1$ oppure c'è qualche altro passaggio che dovrei fare per estenderlo ad $RR$ (tipo ciò che stavo cercando vanamente di fare)?
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