Un esercizio sui Numeri Complessi, un semplice aiutino?
Salve ragazzi!
Potreste aiutarmi con un esercizio sui numeri complessi?
E' questo:
$ |Z| = -i + 2Z $
Non so veramente da dove partire, so che devo scrivere in forma trigonometrica per poi trovare modulo, argomento e infine trovare le soluzioni; so farlo quando ho un numero del tipo " -i " oppure " 2+ 4i ";
Ma quando ho una cosa del genere come si fa!?
Vi prego, per favore mi potete dire come cominciare, poi ci ragiono sù da solo, grazie in anticipo
Potreste aiutarmi con un esercizio sui numeri complessi?
E' questo:
$ |Z| = -i + 2Z $
Non so veramente da dove partire, so che devo scrivere in forma trigonometrica per poi trovare modulo, argomento e infine trovare le soluzioni; so farlo quando ho un numero del tipo " -i " oppure " 2+ 4i ";
Ma quando ho una cosa del genere come si fa!?
Vi prego, per favore mi potete dire come cominciare, poi ci ragiono sù da solo, grazie in anticipo
Risposte
A primo membro hai il modulo di $z$ che è reale positivo.
Quindi la parte immaginaria del secondo membro è nulla e la parte reale del secondo membro è positiva...
Scrivi $z=x+iy$ e imponi le condizioni.
Quindi la parte immaginaria del secondo membro è nulla e la parte reale del secondo membro è positiva...
Scrivi $z=x+iy$ e imponi le condizioni.
Allora, io ho fatto così..
$ |Z| = -i + 2Z $
$ x + iy = -i + 2*(x + iy) $
Dopo diversi calcoli mi viene fuori..
$ x = i - iy $
Così ho messo a sistema
$ x = 0 $
$ -i = -iy $ --> $ y = 1 $
Quindi il "mio risultato finale" sarebbe
$ Z = i $
Mi puoi dire se ho fatto giusto?
$ |Z| = -i + 2Z $
$ x + iy = -i + 2*(x + iy) $
Dopo diversi calcoli mi viene fuori..
$ x = i - iy $
Così ho messo a sistema
$ x = 0 $
$ -i = -iy $ --> $ y = 1 $
Quindi il "mio risultato finale" sarebbe
$ Z = i $
Mi puoi dire se ho fatto giusto?
Mi sembra ci sia un errore già al primo passaggio, infatti:
$|Z|=x^2+y^2$
$|Z|=x^2+y^2$
Scusa ma non era così il modulo di $Z$
$|Z| = sqrt{x^2 + y^2}$
Sono un pò confuso..
$|Z| = sqrt{x^2 + y^2}$
Sono un pò confuso..
"Angeluzzo":
Scusa ma non era così il modulo di $Z$
$|Z| = sqrt{x^2 + y^2}$
Sono un pò confuso..
Certamente è $|Z| = sqrt{x^2 + y^2}$
Sfrutta adesso i due (tutti e due )suggerimenti di cirasa...
Ciao Camillo,
Non capisco molto bene i suggerimenti di cirasa.. puoi vedere i calcoli che ho messo nel secondo post e dirmi se ho fatto giusto?
Grazie!
Non capisco molto bene i suggerimenti di cirasa.. puoi vedere i calcoli che ho messo nel secondo post e dirmi se ho fatto giusto?
Grazie!
I calcoli del secondo post saranno anche giusti ( non li ho verificati) ma partono da un errore, aver cioè considerato $|z|=x+iy$, mentre è $|z|=sqrt(x^2+y^2)$.
Cirasa ha detto due cose:
A primo membro dell'equazione hai un modulo quindi un numero reale e positivo ( o nullo); quindi anche il secondo membro deve essere un numero reale positivo ( o nullo) . si vede subito che $z=0 $ non soddisfa l'equazione .
Il secondo membro vale $ -i+2z=-1+2x+2iy=2x+i(2y-1)$ che deve eesere reale , quindi $2y=1 $ da cui $y=1/2$.
Inoltre il numero a secondo membro deve essere positivo, quindi $x > 0 $ .
Adesso trova $x $ ... sfruttando l'equazione naturalmnete.
Cirasa ha detto due cose:
A primo membro dell'equazione hai un modulo quindi un numero reale e positivo ( o nullo); quindi anche il secondo membro deve essere un numero reale positivo ( o nullo) . si vede subito che $z=0 $ non soddisfa l'equazione .
Il secondo membro vale $ -i+2z=-1+2x+2iy=2x+i(2y-1)$ che deve eesere reale , quindi $2y=1 $ da cui $y=1/2$.
Inoltre il numero a secondo membro deve essere positivo, quindi $x > 0 $ .
Adesso trova $x $ ... sfruttando l'equazione naturalmnete.
Allora.. ho capito come hai trovato $y$
$sqrt(x^2 + y^2) = 2x + i*(2y -1)$
Con $i*(2y -1) = 0$
Quindi..
$sqrt(x^2 + y^2) - 2x = 0$
E' da questa equazione che trovo il valore di $x$ ?
Scusa se non afferro subito quello che mi dici.. a volte mi sento un vero idiota
$sqrt(x^2 + y^2) = 2x + i*(2y -1)$
Con $i*(2y -1) = 0$
Quindi..
$sqrt(x^2 + y^2) - 2x = 0$
E' da questa equazione che trovo il valore di $x$ ?
Scusa se non afferro subito quello che mi dici.. a volte mi sento un vero idiota
Si, precedentemente mancava la radice 
Ti è già stato indicato in che modo determinare $y$ (anzi ti è stato dato anche il risultato). Prendi quest'ultimo e sostituiscilo nell'equazione della parte reale, in modo da determinare anche $x$.
Ti è già stato indicato in che modo determinare $y$ (anzi ti è stato dato anche il risultato). Prendi quest'ultimo e sostituiscilo nell'equazione della parte reale, in modo da determinare anche $x$.
Ok forse ci sono!
$sqrt(x^2 + (1/2)^2) = 2x$
Dopo diversi calcoli arrivo a..
$x^2 = 1/12$
$x = sqrt(1/12)$
Ho fatto la verifica, e per questo valore di $x$ l'equazione è verificata!
$sqrt(x^2 + (1/2)^2) = 2x$
Dopo diversi calcoli arrivo a..
$x^2 = 1/12$
$x = sqrt(1/12)$
Ho fatto la verifica, e per questo valore di $x$ l'equazione è verificata!
Esatto, naturalmente hai scartato la soluzione negativa $x=-1/sqrt(12) $ perchè dalle considerazioni precedenti si era visto che $x>0 $.
Quindi la soluzione è $z= 1/sqrt(12)+i/2=sqrt(3)/6+i/2=1/2(sqrt(3)/3+i)$ , che puoi esprimere in forma polare come $z=sqrt(3)/3e^(ipi/3)$.
Quindi la soluzione è $z= 1/sqrt(12)+i/2=sqrt(3)/6+i/2=1/2(sqrt(3)/3+i)$ , che puoi esprimere in forma polare come $z=sqrt(3)/3e^(ipi/3)$.
Grazie infinite!! 
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