Un esercizio sui moltiplicatori di Lagrange

[Paolo902]

Problema (Concorso di ammissione SISSA, LM 2006). Sia [tex]S:=\left\{(x,y) \in \mathbb R^2 : \frac{x^4}{4}+\frac{y^2}{2}=1\right\}[/tex] e [tex]f \colon \mathbb R^2 \to \mathbb R[/tex] definita da
\[
f(x,y) = \sqrt{x^2+y^2}.
\]
Trovare i punti di massimo e di minimo di [tex]f[/tex] su [tex]S[/tex].

Svolgimento. E' chiaro che bisogna "andare" di moltiplicatori: per levarci dalle scatole un po' di brutte radici, sfruttiamo la monotonia della funzione [tex]t \mapsto t^2[/tex] (per $t \ge 0$) e dedichiamoci a studiare la più comoda [tex]f^2(x,y)=x^2+y^2[/tex] su [tex]S[/tex].

Poniamo [tex]L(x,y,\lambda):=x^2+y^2-\lambda\left(\frac{x^4}{4}+\frac{y^2}{2}-1\right)[/tex] e troviamo gli estremi (liberi) di [tex]L[/tex]. Ne risulta il sistema
\[
\begin{cases}
x(2-\lambda x^2) = 0 \\
(2-\lambda) y = 0 \\
\frac{x^4}{4}+\frac{y^2}{2}-1 = 0
\end{cases}
\]

Dalla seconda [tex]y=0[/tex] o [tex]\lambda=2[/tex]: se [tex]y=0[/tex], allora [tex]x=\pm \sqrt[4]{4}=\sqrt{2}[/tex]: inoltre, [tex]f(\pm \sqrt[4]{4}, 0) = \sqrt{2}[/tex].
Se [tex]\lambda=2[/tex] trovo invece [tex]x=0[/tex] (che sostituito nel vincolo porge [tex]y=\pm \sqrt{2}[/tex]) o [tex]x=\pm 1[/tex] (che porge [tex]y=\pm \sqrt{\frac{3}{2}}[/tex]).

To sum up, i punti [tex](\pm \sqrt{2}, 0)[/tex] e [tex](0,\pm \sqrt{2})[/tex] sono di minimo assoluto su [tex]S[/tex] giacché [tex]f(\pm \sqrt{2}, 0) = f(0,\pm \sqrt{2}) = \sqrt{2}[/tex]; d'altra parte, i punti [tex]\left(1,\pm \sqrt{\frac{3}{2}}\right)[/tex] e [tex]\left(-1,\pm \sqrt{\frac{3}{2}}\right)[/tex] sono di massimo assoluto su [tex]S[/tex], giacché [tex]f\left(1,\pm \sqrt{\frac{3}{2}}\right)=f\left(-1,\pm \sqrt{\frac{3}{2}}\right) = \sqrt{\frac{5}{2}} = \sqrt{2.5} > \sqrt{2}[/tex].

Al di là dei conti, l'idea e lo svolgimento vi paiono corretti? Cerco conferme, non so perché ma mi pare troppo semplice e temo di aver sbagliato qualcosa.

Grazie in anticipo.

[Raptorista1]

Mi pare tutto corretto; l'esercizio è oggettivamente semplice.

Per informazione, un approccio diverso può essere quello di parametrizzare la curva vincolo e di restringere la funzione \(f^2\) ad essa, per poi eseguire un esercizio di ottimizzazione in una variabile; in questo modo ottieni calcoli ancora più semplici.
Puoi usare questo metodo per confermare i risultati.

[Paolo902]

Perfetto, ti ringrazio per il tuo parere.

Sì, sono consapevole dell'esistenza dell'altro metodo ma non ho trovato una parametrizzazione "furba" per il vincolo (non che l'abbia cercata più di tanto, a dire il vero, ma non volevo andarmi a incasinare con radici e radici quarte) e ho preferito buttarmi sui moltiplicatori. Grazie ancora

[Raptorista1]

\(x = t\) non ti piace?

[Paolo902]

Sì, d'accordo ma $y$ è già troppo difficile da calcolare per il mio povero neurone

P.S. Sto scherzando, ovviamente; sì, hai ragione, l'espressione della $f^2$ ristretta al vincolo non è poi così mostruosa.

[Raptorista1]

"Paolo90":Sì, d'accordo ma $y$ è già troppo difficile da calcolare per il mio povero neurone

Se poi consideri che in realtà ti basta ricavare \(y^2\), senza nemmeno la briga di estrarre una radice...

[j18eos]

Io risolsi come ha scritto raptorista, solo che bisogna stare leggermente attenti altrimenti ci si incasina!

[ciampax]

Le due parametrizzazioni ovvie che mi vengono in mente sono $y^2=2-x^4/2$ oppure oppure $x=\sqrt{2}\cos t,\ y=\sqrt{2}\ \sin t$.

Ora però c'è una cosa strana: la seconda parametrizzazione trasforma il vincolo nella forma $\cos^4 t+\sin^2 t=1$ o anche $\cos^4 t-\cos^2 t=0$ e la funzione in $f(t)=\sqrt{2\cos^2 t+2\sin^2 t}=\sqrt{2}$.

Visto che dal vincolo si ha $\cos^2t(\cos^2 t-1)=0$ la cosa diventa alquanto banale (o no?).