Un esercizio simpatico sulle serie

[cirasa]

Un mio caro amico mi ha proposto questo esercizio carino per grandi e piccini. Non necessita di nessuno strumento avanzato.

Trovare, se esistono, due serie a termini positivi [tex]\displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_n[/tex] e [tex]\displaystyle \sum_{n=0}^\infty b_n[/tex] entrambe divergenti e tali che
1) le successioni [tex]\displaystyle (a_n)_{n\in\mathbb{N}}[/tex] e [tex]\displaystyle (b_n)_{n\in\mathbb{N}}[/tex] sono decrescenti;
2) la serie [tex]\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \textrm{min}\{a_n,b_n\}[/tex] converge.

Purtroppo per me, il mio amico mi ha dato anche la sua soluzione, quindi non ho avuto modo di scoprirla da solo (anche se, appena ho un po' di tempo libero, penso a qualche soluzione alternativa).
Se ne avete voglia, cimentatevi!

In questi giorni sono molto occupato e non so se riuscirò a collegarmi. Eventualmente, se qualcuno è interessato, posterò la soluzione nel week-end.
Ciao a tutti!

[ObServer]

Molto intrigante! Mi cimento sul problema appena ho tempo. Intervengo giusto per pregare chiunque altro volesse rispondere di mettere la sua eventuale soluzione dentro spoiler, grazie.

[Rigel1]

Definiamo le successioni
$n_k = 2^{k^2}$, $c_n = \frac{1}{n^2 2^{n^2}$,
e poniamo
$a_n = c_{2k+1}$ se $n_{2k}\le n < n_{2k+2}$,
$b_n = c_{2k}$, se $n_{2k-1}\le n < n{2k+1}$.
In questo modo si ha
$a_n \wedge b_n = c_{k+1}$ se $n_k\le n < n_{k+1}$.
Inoltre
$\sum_n a_n = \sum_k (n_{2k+2}-n_{2k}) c_{2k+1}$;
poiché $(n_{2k+2}-n_{2k}) c_{2k+1} \sim C \cdot \frac{2^{4k}}{k^2}$, con $C>0$, tale serie è divergente.
Analogamente,
$\sum_n b_n = \sum_k (n_{2k+1}-n_{2k-1}) c_{2k}$, e il termine generale della seconda serie è asintotico a
$C \cdot \frac{2^{4k}}{k^2}$ (sempre con $C>0$), dunque anche questa serie è divergente.
D'altra parte
$\sum_n a_n \wedge b_n = \sum_k (n_{k+1}-n_k) c_{k+1}$;
il termine generale di quest'ultima serie è asintotico a $1/k^2$, dunque la serie è convergente.

Posto che i conti siano giusti il trucco consiste nello scegliere una successione $n_k$ che diverga molto rapidamente; se infatti il rapporto
$\frac{n_{k+1}-n_k}{n_{k}-n_{k-1}}$ rimane limitato, con questa costruzione le tre serie hanno lo stesso carattere.

[cirasa]

@Rigel:

La tua idea, se ho capito bene (correggimi se sbaglio), è definire il termine generale della serie in modo che esso sia "costante a tratti" in modo che entrambe le serie divergano, in quanto su ogni tratto il numero di termini "compensa" la decrescenza della successione. Ma hai cercato di "incastrare" i pezzi costanti in modo che la serie dei minimi converga. Giusto?
Bene, ottima idea. Ho seguito a grandi linee i tuoi calcoli (mannaggia, quanto tempo ho perso...e non sono nemmeno sicuro di non aver commesso errori ) e dovrebbero (non ne sono certo!) essere giusti.
Quindi missione compiuta!
Ciò che non capisco è la necessità di definire la "lunghezza" dei pezzi costanti (che hai definito mediante la successione $n_k$) così "grossa".
Mi spiego meglio: se riuscissi ad usare una successione molto più semplice forse semplificheresti di gran lunga i calcoli...
E infatti le successioni $a_n$ e $b_n$ che hai costruito vanno a $\infty$ come l'esponenziale $2^n$ (per la costante $C$ diviso $n^2$ ma è trascurabile), e si potrebbe scegliere una serie che diverge meno velocemente.

Il mio amico usa più o meno la stessa tua idea ma l'espressione delle due successioni è più semplice e (secondo me) più elegante. Aspetto un altro paio di giorni e poi la illustro.

[Rigel1]

@cirasa:

Sono certo che ci siano esempi più semplici.
Io ho scritto il primo che mi è venuto in mente, senza stare troppo ad "aggiustarlo".
Aspetto di vedere quello che propone il tuo amico.

[cirasa]

Ecco la soluzione del mio amico Fabio (che ringrazio):

Denoterò con [tex]a=(a_n)_{n\in\mathbb{N}}[/tex], [tex]b=(b_n)_{n\in\mathbb{N}}[/tex]
L'idea è cercare di ottenere [tex]\displaystyle \textrm{min}\{a_n,b_n\}=\frac{1}{n^2}[/tex].
Si parte da
[tex]a_1=1[/tex], [tex]b_1=1[/tex]
I successivi [tex]2^2=4[/tex] termini sono
[tex]\displaystyle a_2=a_3=a_4=a_5=\frac{1}{2^2}[/tex],
[tex]\displaystyle b_k=\frac{1}{k^2},\ \ k=2,3,4,5[/tex].
In questo modo [tex]\textrm{min}\{a_k,b_k\}=1/k^2,\ \ k=2,3,4,5[/tex].
A questo punto abbiamo una situazione del tipo
[tex]\begin{matrix}a & 1 & 1/4 & 1/4 & 1/4 & 1/4 \\ \hline
b & 1 & 1/4 & 1/3^2 & 1/4^2 & 1/5^2
\end{matrix}[/tex]

Il successivo termine dovrebbe essere tale che [tex]\displaystyle \textrm{min}\{a_6,b_6\}=1/6^2[/tex].
Quindi definisco i successivi [tex]6^2=36[/tex] termini come
[tex]\displaystyle a_k=\frac{1}{k^2},\ \ k=6,7,...,6+35[/tex],
[tex]\displaystyle b_6=b_7=\dots=b_{41}=\frac{1}{6^2}[/tex].
La situazione ora è del tipo
[tex]\begin{tabular}{c c c c c c c c c c}
$a$ & $1$ & $1/4$ & $1/4$ & $1/4$ & $1/4$ & $1/6^2$ & $1/7^2$ & ... & $1/41^2$ \\ \hline
$b$ & $1$ & $1/4$ & $1/3^2$ & $1/4^2$ & $1/5^2$ & $1/6^2$ & $1/6^2$ & ... & $1/6^2$ \\
& & \multicolumn{4}{c}$\underbrace{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }_{4\textrm{ termini}}$
& \multicolumn{4}{c}$\underbrace{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }_{6^2\textrm{ termini}}$
\end{tabular}[/tex]

A questo punto si prosegue. I successivi [tex]42^2[/tex] sono costanti pari a [tex]1/42^2[/tex] per [tex]a[/tex] e come nella successione [tex]1/n^2[/tex] per [tex]b[/tex].
E così via.

E' molto più facile da capire che da scrivere.
Naturalmente potrei anche scrivere l'espressione delle due successioni in forma chiusa, ma sono troppo pigro per farlo

E' facile verificare che entrambe le successioni sono decrescenti, divergenti (perchè contengono infiniti [tex]1[/tex], quelli dati dai pezzi costanti) e che la successione dei minimi converge.

[Rigel1]

L'esempio da te postato è sostanzialmente uguale al mio, con l'unica differenza che le mie successioni sono "costanti a tratti" e sono scritte in maniera esplicita.
Se ti prendessi la briga di scrivere la successione $n_k$ nell'esempio da te proposto vedresti che diverge molto velocemente a $+\infty$; nel tuo caso gli $n_k$ sono definiti per ricorrenza dalla relazione $n_{k+1} = n_k^2 (n_k^2+1)$.

[cirasa]

@ Rigel: In effetti, come avevo già accennato, l'esempio è sostanzialmente uguale al tuo o quantomeno l'idea è abbastanza simile, anche se in effetti è più complicato da esprimere in modo esplicito.
E complimenti anche per il calcolo per ricorrenza della successione $n_k$!
Riporto le parole del mio amico: "Oh che bello!!! Un forum eccezionale... E quel Rigel sembra più che bravo". Sono d'accordo con lui