Un esercizio ridicolo sull'induzione

[bobbypiùpesce]

Cortesemente, potete controllare la risoluzione. Grazie.

Dimostrare per induzione che, per ogni $n >= 1$, il numero $3^(2n) − 1$ è un multiplo di $2^(n+2)$.


Passo base: $n=1$ $rArr$ OK
Passo Induttivo: se $3^(2n) − 1$ è un multiplo di $2^(n+2)$ $rArr$ $3^(2(n+1))$ è un multiplo di $2^(n+3)$

$3^(2(n+1))-1$ = $(3^(n+1) -1)(3^(n+1)+1)$ allora è un multiplo di $2^((n+2)+1)$, avendo ipotizzato $(3^(n) − 1)( 3^(n) + 1)$ multiplo di $2^(n+2)$.

[gugo82]

Non va.
Infatti non hai usato da nessuna parte l'ipotesi induttiva.

D'altra parte, per \(n=3\) si ha:
\[
3^6-1= 728
\]
e \(728\) non è divisibile per \(2^5=32\).
La relazione non funziona nemmeno per \(n=4\), né per \(n=5\)... Quindi?

[bobbypiùpesce]

Scusami, ho scritto male la traccia . (Non ho mai scritto tante castronerie in una volta sola. )


Posto direttamente lo screenshot, dal momento che non sono in grado di scrivere 3 alla 2 alla n.




Ma non so bene come lavorare con l' $n$. Qualche suggerimento?

[gugo82]

Cioè devi far vedere che \(3^{2^n}-1\) è divisibile per \(2^{n+2}\)?

Allora il passo induttivo è semplice.
Infatti:
\[
3^{2^{n+1}} - 1 = 3^{2\ 2^n} -1= (3^{2^n})^2 -1 = (3^{2^n} -1)\ (3^{2^n} +1)
\]
ed usi l'ipotesi induttiva ed il fatto che \(3^{2^n} +1\) è pari.

[bobbypiùpesce]

Grazie!