Un esercizio difficilissimo trasformata di Fourier
Salve matematici, non mi raccapezzolo in questo esercizio, tra l' altro svolto sul libro...
Ho da trovare l' antitrasformata di Fourier di
\(\displaystyle S(f) = rect\left (\frac{f}{B} \right )sinc(fT) \)
Ragiono in questi termini:
Sfrutto la proprietà della convoluzione che dice che l'antitrasformata del prodotto di due funzioni espresse nel dominio della frequenza è uguale alla convoluzione delle due funzioni nel dominio del tempo...
In formule:
\(\displaystyle h(t)= s_1 * s_2 = F^{-1}\left [ S_1(f)S_2(f) \right ] \)
dove
\(\displaystyle h(t)= s_1 * s_2 = \int_{-\infty}^{\infty}s_1(\tau )s_2(t-\tau)d\tau \)
conosco
conosco l' antitrasformata della rect e l'antitrasformata della sinc, in particolare
\(\displaystyle s_1(t) = F^{-1}\left [ sinc(fT) \right ] = \frac{1}{T}rect\left ( \frac{t}{T}\right ) \)
e
\(\displaystyle s_2(t) = F^{-1}\left [ rect\left ( \frac{f}{B} \right ) \right ] = B sinc(Bt) \)
dunque trovo l'antitrasformata s(t) della S(f) facendo la convoluzione di s1 e s2
\(\displaystyle s(t) = \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{T}rect\left ( \frac{\tau}{T} \right )Bsinc[B(t - \tau)] d\tau \)
\(\displaystyle s(t) = \frac{B}{T}\int_{-T/2}^{T/2}sinc[B(t - \tau)] d\tau \)
ma il libro mi da
\(\displaystyle s(t) = B\int_{-T/2}^{T/2}sinc[B(t - \tau)] d\tau \)
perchè non compare il termine 1/T a fattore dell'integrale ???
altro quesito :
Il libro mi dice che posso esprimere la s(t) in termini di seno integrale SI(x)
\(\displaystyle Si(x)=\int_{0}^{x} \frac{sin\, t}{t}\, dt \)
come procedo ???
il risultato finale che da il libro è
\(\displaystyle s(t) =\frac{1}{\pi }\left \{ Si\left [ \pi B\left ( t+\frac{T}{2} \right ) \right ]- Si\left [ \pi B\left ( t-\frac{T}{2} \right ) \right ] \right \} \)
STO LETTERALMENTE IMPAZZENDO !!!
Ho da trovare l' antitrasformata di Fourier di
\(\displaystyle S(f) = rect\left (\frac{f}{B} \right )sinc(fT) \)
Ragiono in questi termini:
Sfrutto la proprietà della convoluzione che dice che l'antitrasformata del prodotto di due funzioni espresse nel dominio della frequenza è uguale alla convoluzione delle due funzioni nel dominio del tempo...
In formule:
\(\displaystyle h(t)= s_1 * s_2 = F^{-1}\left [ S_1(f)S_2(f) \right ] \)
dove
\(\displaystyle h(t)= s_1 * s_2 = \int_{-\infty}^{\infty}s_1(\tau )s_2(t-\tau)d\tau \)
conosco
conosco l' antitrasformata della rect e l'antitrasformata della sinc, in particolare
\(\displaystyle s_1(t) = F^{-1}\left [ sinc(fT) \right ] = \frac{1}{T}rect\left ( \frac{t}{T}\right ) \)
e
\(\displaystyle s_2(t) = F^{-1}\left [ rect\left ( \frac{f}{B} \right ) \right ] = B sinc(Bt) \)
dunque trovo l'antitrasformata s(t) della S(f) facendo la convoluzione di s1 e s2
\(\displaystyle s(t) = \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{T}rect\left ( \frac{\tau}{T} \right )Bsinc[B(t - \tau)] d\tau \)
\(\displaystyle s(t) = \frac{B}{T}\int_{-T/2}^{T/2}sinc[B(t - \tau)] d\tau \)
ma il libro mi da
\(\displaystyle s(t) = B\int_{-T/2}^{T/2}sinc[B(t - \tau)] d\tau \)
perchè non compare il termine 1/T a fattore dell'integrale ???
altro quesito :
Il libro mi dice che posso esprimere la s(t) in termini di seno integrale SI(x)
\(\displaystyle Si(x)=\int_{0}^{x} \frac{sin\, t}{t}\, dt \)
come procedo ???
il risultato finale che da il libro è
\(\displaystyle s(t) =\frac{1}{\pi }\left \{ Si\left [ \pi B\left ( t+\frac{T}{2} \right ) \right ]- Si\left [ \pi B\left ( t-\frac{T}{2} \right ) \right ] \right \} \)
STO LETTERALMENTE IMPAZZENDO !!!
Risposte
[xdom="Seneca"]Il titolo deve indicare l'argomento della discussione (per esempio "Esercizio: Antitrasformata di Fourier"). Ti chiedo pertanto di modificarlo. Grazie.[/xdom]
Grazie 
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