Un esercizio decisamente non std. su succ. di funzioni
Mi viene data la seguente successione di funzioni
\[f_n(x) = n^{\alpha} (n - x) (x - n - 1/n) \cdot \chi [n, n+1/n] (x) \qquad \alpha \in \mathbb{R}\]
e mi viene chiesto di trovare per quali \(\alpha\) si ha
\[\lim_{n \to \infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f_n = \int_{-\infty}^{+\infty} \lim_{n \to \infty} f_n\]
Ora, la funzione converge puntualmente a \(f(x) \equiv 0\) su tutto \(\mathbb{R}\) (per qualsiasi valore di \(\alpha\)), e -basta usare la definizione- si calcola che la convergenza e' uniforme per \(\alpha < 2\).
La richiesta dell'esercizio e' quindi: trovare per quali \(\alpha\)
\[\lim_{n \to \infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f_n \equiv 0\]
Ora, di certo per \(\alpha < 2\), per il teorema del doppio limite, ho l'equivalenza richiesta. Ma per completare la casistica come potrei fare?
La prima idea veramente pessima che m'e' venuta in mente e' di calcolarmi una primitiva di \(f_n\), integrare, e porre condizioni su \(\alpha\) per fare andare tutto a zero (sperando di non trovare ancora \(\alpha < 2\), altrimenti ...fatica inutile!).
Cioe':
\[\lim_{n \to \infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f_n = \lim_{n \to \infty} \int_{n}^{n + 1/n} f_n (x) \, dx =
\lim_{n \to \infty} n^\alpha \int_{n}^{n+ 1/n} (n-x)(x - n - 1/n) \, dx \]
e va be', da qualche parte mi aspetto di arrivare ... (i conti, al momento, li trovo davvero faticosi, anche se sono tutte primitive immediate).
Ma in quale altro modo si puo' procedere?
\[f_n(x) = n^{\alpha} (n - x) (x - n - 1/n) \cdot \chi [n, n+1/n] (x) \qquad \alpha \in \mathbb{R}\]
e mi viene chiesto di trovare per quali \(\alpha\) si ha
\[\lim_{n \to \infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f_n = \int_{-\infty}^{+\infty} \lim_{n \to \infty} f_n\]
Ora, la funzione converge puntualmente a \(f(x) \equiv 0\) su tutto \(\mathbb{R}\) (per qualsiasi valore di \(\alpha\)), e -basta usare la definizione- si calcola che la convergenza e' uniforme per \(\alpha < 2\).
La richiesta dell'esercizio e' quindi: trovare per quali \(\alpha\)
\[\lim_{n \to \infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f_n \equiv 0\]
Ora, di certo per \(\alpha < 2\), per il teorema del doppio limite, ho l'equivalenza richiesta. Ma per completare la casistica come potrei fare?
La prima idea veramente pessima che m'e' venuta in mente e' di calcolarmi una primitiva di \(f_n\), integrare, e porre condizioni su \(\alpha\) per fare andare tutto a zero (sperando di non trovare ancora \(\alpha < 2\), altrimenti ...fatica inutile!).
Cioe':
\[\lim_{n \to \infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f_n = \lim_{n \to \infty} \int_{n}^{n + 1/n} f_n (x) \, dx =
\lim_{n \to \infty} n^\alpha \int_{n}^{n+ 1/n} (n-x)(x - n - 1/n) \, dx \]
e va be', da qualche parte mi aspetto di arrivare ... (i conti, al momento, li trovo davvero faticosi, anche se sono tutte primitive immediate).
Ma in quale altro modo si puo' procedere?
Risposte
Praticamente stai cercando un escamotage per risparmiarti i conticini,a quanto credo d'aver capito 
:
è un pò "diseducativo"
(anche perchè,con la sostituzione $t=n+1/n-x$,
quei conti son immediati quanto gli integrali indefiniti che permettono di completarli in un battibaleno
),
ma la cosa mi ti rende simpatico e,
sebbene mi sembra che renda le cose più complicate rispetto alla via da te pensata per istinto,
ti dico che se fossi preso da "pigrizia" penserei al teorema della media integrale,
più una proprietà elementare delle parabole,per capire che quella successione è asintoticamente equivalente a $n^(alpha-3)$..
Saluti dal web.
:è un pò "diseducativo"
(anche perchè,con la sostituzione $t=n+1/n-x$,
quei conti son immediati quanto gli integrali indefiniti che permettono di completarli in un battibaleno
),ma la cosa mi ti rende simpatico e,
sebbene mi sembra che renda le cose più complicate rispetto alla via da te pensata per istinto,
ti dico che se fossi preso da "pigrizia" penserei al teorema della media integrale,
più una proprietà elementare delle parabole,per capire che quella successione è asintoticamente equivalente a $n^(alpha-3)$..
Saluti dal web.
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