Un esercizio apparentemente paradossale
Salve a tutti.
Ho un problema con un esercizio di Analisi Reale/Analisi Funzionale, che in due parti diverse sembra portare a conclusioni quantomeno bizzarre, almeno dal mio punto di vista.
Esercizio. Sia \(\displaystyle (X,\mathcal{M},\mu) \) spazio con misura \(\displaystyle \sigma \)-finita. Sia $g\in L^{\infty}(\mu)$. Dato \(\displaystyle p \) con \(\displaystyle 1\le p \lt \infty \) si considera l'operatore lineare $T: L^p \to L^p$ dato da $Tf=fg$ (i.e. l'operatore di moltiplicazione per $g$).
i) Provare che $T\in L(L^p(\mu))$ e che \(\displaystyle \Vert T \Vert \le \Vert g \Vert_{\infty}.\)
ii) Mostrare che \(\displaystyle \Vert T \Vert = \Vert g \Vert_{\infty}.\)
[...] (parte indipendente dal resto dell'esercizio, che non mi interessa per la questione in oggetto)
Specializzandosi al caso in cui \(\displaystyle (X,\mathcal{M},\mu)=(\mathbb{N}, \mathcal{P}(\mathbb{N}), \chi) \) ($\chi$ = counting measure), di modo che gli $L^p$ diventano gli $l^p(\mathbb{N})$:
v) Dimostrare che se $g\in l^2$, l'operatore $T$ di moltiplicazione per $g$ mappa $l^2$ in $l^1$, e che $T$ è continuo come operatore di $l^2$ in $l^1$. Calcolarne la norma.
E qui mi salta fuori il dubbio: si vede senza troppi problemi, con la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, che la norma di $T: l^2 \to l^1$ è la norma di $g$ in $l^2$. Ma per la prima parte dell'esercizio questa norma dovrebbe anche essere la norma infinito di $g$, il che mi sembra un bel po' strano!
Dov'è l'inghippo?!
Grazie in anticipo, ciao!
Ho un problema con un esercizio di Analisi Reale/Analisi Funzionale, che in due parti diverse sembra portare a conclusioni quantomeno bizzarre, almeno dal mio punto di vista.
Esercizio. Sia \(\displaystyle (X,\mathcal{M},\mu) \) spazio con misura \(\displaystyle \sigma \)-finita. Sia $g\in L^{\infty}(\mu)$. Dato \(\displaystyle p \) con \(\displaystyle 1\le p \lt \infty \) si considera l'operatore lineare $T: L^p \to L^p$ dato da $Tf=fg$ (i.e. l'operatore di moltiplicazione per $g$).
i) Provare che $T\in L(L^p(\mu))$ e che \(\displaystyle \Vert T \Vert \le \Vert g \Vert_{\infty}.\)
ii) Mostrare che \(\displaystyle \Vert T \Vert = \Vert g \Vert_{\infty}.\)
[...] (parte indipendente dal resto dell'esercizio, che non mi interessa per la questione in oggetto)
Specializzandosi al caso in cui \(\displaystyle (X,\mathcal{M},\mu)=(\mathbb{N}, \mathcal{P}(\mathbb{N}), \chi) \) ($\chi$ = counting measure), di modo che gli $L^p$ diventano gli $l^p(\mathbb{N})$:
v) Dimostrare che se $g\in l^2$, l'operatore $T$ di moltiplicazione per $g$ mappa $l^2$ in $l^1$, e che $T$ è continuo come operatore di $l^2$ in $l^1$. Calcolarne la norma.
E qui mi salta fuori il dubbio: si vede senza troppi problemi, con la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, che la norma di $T: l^2 \to l^1$ è la norma di $g$ in $l^2$. Ma per la prima parte dell'esercizio questa norma dovrebbe anche essere la norma infinito di $g$, il che mi sembra un bel po' strano!
Dov'è l'inghippo?!
Grazie in anticipo, ciao!
Risposte
Nel primo esercizio la norma è quella di operatori di \(L^p\) in \(L^p\). Nel secondo invece è la norma di \(\ell^2\) in \(\ell^1\). Sono cose diverse.
Urca Dissonance, hai ragione! Come uno sciocco ho pensato che siccome $l^1(\mathbb{N})\subseteq l^2(\mathbb{N})$ l'operatore si potesse interpretare da $l^2(\mathbb{N})$ in sé: chiaramente lo si può fare, ma allora per valutarne la norma devo stimare la norma 2 di $Tf$, non la norma 1!
Ok, a posto, grazie mille Dissonance. Ormai stai diventando il mio personal trainer analitico.
Ok, a posto, grazie mille Dissonance. Ormai stai diventando il mio personal trainer analitico.
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