Un dubbio sull'induzione
Salve, ultimamente, mentre ripetevo Analisi, mi era venuto un dubbio circa il Principio di Induzione (di cui normalmente preferisco la formulazione algebrica a quella analitica dato il suo riferirsi ad insiemi). Sostanzialemente, è una cosa abbastanza palese, che il principio di induzione permette di dire che una proprietà vale per ogni numero naturale, tuttavia nel "passaggio all'infinito" risulta problematico. Tempo fa, lessi una discussione sul forum in merito e veniva detto in tale topic che io posso considerare un predicato come un'applicazione. Allora, nel caso di una proprietà sui numeri naturali, richiedere che il principio di induzione vale anche per il caso infinito, in pratica significa richiedere che tale applicazione sia continua...Ora, il discorso era molto interessante, e onestamente, seppur in maniera semplificata, mi piacerebbe approfondirlo e se non vi reca disturbo vorrei chiedervi dei riferimenti o magari una spiegazione.
P.s: inoltre in una dimostrazione che il professore mi ha consigliato di vedere per Geometria 1, veniva usata una cosa detta induzione transfinita, anche se veniva ricondotta sostanzialemente a Zorn e Zermelo, e ora mi chiedevo se avesse un collegamento effettivo con il discorso di prima (possibilmente non estremamente complesso)
Edit 1: spero di non essere stato eccessivamente confusionario
P.s: inoltre in una dimostrazione che il professore mi ha consigliato di vedere per Geometria 1, veniva usata una cosa detta induzione transfinita, anche se veniva ricondotta sostanzialemente a Zorn e Zermelo, e ora mi chiedevo se avesse un collegamento effettivo con il discorso di prima (possibilmente non estremamente complesso)
Edit 1: spero di non essere stato eccessivamente confusionario
Risposte
Devi formulare una domanda precisa. Così è impossibile rispondere. Perché non cominci con un bel link a questa discussione che hai letto tempo fa?
Quanto all’induzione transfinita, io l’ho studiata un po’ 12 anni fa grazie a questo bellissimo post di fields: https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 34#p294434
(Sono cinque anni che fields non pubblica più su questo forum. Peccato, ho imparato molto da lui. Spero stia bene).
Quanto all’induzione transfinita, io l’ho studiata un po’ 12 anni fa grazie a questo bellissimo post di fields: https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 34#p294434
(Sono cinque anni che fields non pubblica più su questo forum. Peccato, ho imparato molto da lui. Spero stia bene).
@dissonance: grazie per aver risposto e scusa la domanda confusionaria. Per quanto riguarda il link della discussione non sono riuscito a trovarlo forse a causa del problema che c'è stato col forum. Ti ringrazio per il link. Per quanto riguarda la domanda provo ad andare con ordine.
1. Se una proprietà è vera per ogni numero naturale non è detto che valga una volta fatto il "passaggio all'infinito"
2. Formalmente, da quello che ho capito, non è vero che se un predicato $P(n)$ è vero per ogni numero naturale allora anche $lim_(n->+oo) P(n)=P(oo)$ sia vero e come esempio mi è venuto in mente il caso del teorema spettrale
3.In teoria, vendendo il predicato come una funzione, quella condizione di prima dovrebbe essere la continuità, almeno questo è ciò che ho capito da quella discussione a cui partecipò Solaàl (spero di averlo scritto bene).
4. La mia domanda era proprio riguardo alla connessione tra continuità (quindi una nozione strettamente topologica) e verità (dunque una nozione logica), oltre che al nesso col passaggio "all'infinito del principio di induzione".
P.s: grazie per il link e scusa di nuovo per la domanda confusionaria, spero ora sia più chiara.
1. Se una proprietà è vera per ogni numero naturale non è detto che valga una volta fatto il "passaggio all'infinito"
2. Formalmente, da quello che ho capito, non è vero che se un predicato $P(n)$ è vero per ogni numero naturale allora anche $lim_(n->+oo) P(n)=P(oo)$ sia vero e come esempio mi è venuto in mente il caso del teorema spettrale
3.In teoria, vendendo il predicato come una funzione, quella condizione di prima dovrebbe essere la continuità, almeno questo è ciò che ho capito da quella discussione a cui partecipò Solaàl (spero di averlo scritto bene).
4. La mia domanda era proprio riguardo alla connessione tra continuità (quindi una nozione strettamente topologica) e verità (dunque una nozione logica), oltre che al nesso col passaggio "all'infinito del principio di induzione".
P.s: grazie per il link e scusa di nuovo per la domanda confusionaria, spero ora sia più chiara.
Ciao mkplo.
Dell'argomento non so nulla, quindi non posso illuminarti.,
Però, partendo da zero, mi chiedo (volendo chiarire il nesso tra cose logiche e topologiche):
In che senso un predicato è una funzione? Una funzione tra cosa e cosa?
Per parlare di continuità e limiti abbiamo bisogno di uno spazio con una qualche struttura, quindi ci sarà uno spazio topologico? Quale? Con quale topologia?
Senza technicalities non si può dire nulla, ma credo che è quello che intendi pure tu.
Fai inoltre l'esempio del teorema spettrale. A che ti riferisci? Al fatto che può essere sia in dimensione finita che in dimensione infinita? E, nel caso, dove sarebbe qui l'induzione?
A me sembra solo il fatto che in spazi vettoriali topologici non è detto che risultati che valgono in dimensione finita debbano valere in dimensione infinita.
Forse avevi in mente che fosse un esempio in cui si parla del limite per $n$ che va a infinito di una proposizione (qualunque cosa significhi), come quando scrivi $ lim_(n->+oo) P(n)=P(oo) $.
Ma dov'è l'induzione? Nell'induzione, come la conosciamo, ci deve essere il 'Passo 2', ossia che se una proprietà vale per $n$ vale anche per $n+1$. Ma dove sta questo nel teorema spettrale?
Forse va quindi distinto, in generale, il caso dell'induzione dal caso in cui una proposizione 'va all'infinito'.
Anche perché il principio di induzione può dirci che una cosa vale per ogni $n$ finito, per $n$ che va a infinito, boh?
Dell'argomento non so nulla, quindi non posso illuminarti.,
Però, partendo da zero, mi chiedo (volendo chiarire il nesso tra cose logiche e topologiche):
In che senso un predicato è una funzione? Una funzione tra cosa e cosa?
Per parlare di continuità e limiti abbiamo bisogno di uno spazio con una qualche struttura, quindi ci sarà uno spazio topologico? Quale? Con quale topologia?
Senza technicalities non si può dire nulla, ma credo che è quello che intendi pure tu.
Fai inoltre l'esempio del teorema spettrale. A che ti riferisci? Al fatto che può essere sia in dimensione finita che in dimensione infinita? E, nel caso, dove sarebbe qui l'induzione?
A me sembra solo il fatto che in spazi vettoriali topologici non è detto che risultati che valgono in dimensione finita debbano valere in dimensione infinita.
Forse avevi in mente che fosse un esempio in cui si parla del limite per $n$ che va a infinito di una proposizione (qualunque cosa significhi), come quando scrivi $ lim_(n->+oo) P(n)=P(oo) $.
Ma dov'è l'induzione? Nell'induzione, come la conosciamo, ci deve essere il 'Passo 2', ossia che se una proprietà vale per $n$ vale anche per $n+1$. Ma dove sta questo nel teorema spettrale?
Forse va quindi distinto, in generale, il caso dell'induzione dal caso in cui una proposizione 'va all'infinito'.
Anche perché il principio di induzione può dirci che una cosa vale per ogni $n$ finito, per $n$ che va a infinito, boh?
@gabriella127:grazie per aver risposto. Come hai giustamente notato volevo proprio sapere qualcosa circa a quel legame tra funzioni e predicati. Comunque non so se ci sono altre dimostrazioni del Teorema Spettrale, ma quella che conosco (per spazi vettoriali finito-dimensionali) sfrutta l'induzione e tuttavia non vale nel caso infinito dimensionale. Un altro esempio in cui il "passaggio all'infinito" fallisce e ad esempio nell'equipotenza di prodotti cartesiani infiniti di insiemi infiniti, oppure commutatività e associatività della somma o che il rapporto tra prodotti di interi sia razionale....Vorrei veramente rendere più chiara la domanda ma purtroppo non so come fare.
Be', allora l'induzione c'è. Nel libro che ho io, ho ridato uno sguardo, non la vedo, si vede che usano dimostrazioni diverse.
Certo, gli esempi in cui il passaggio all'infinito fallisce potrebbero essere tutti visti come esempio di non continuità del predicato visto come funzione (considerando il limite per $n$ che va all'infinito di una proposizione, qualunque cosa voglia dire, ripeto).
Continuo però a pensare, ma posso sbagliarmi a non vedere il nesso, che induzione e questione di proposizione che va all'infinito siano cose diverse.
La tua domanda è chiara, si capisce benissimo, è la risposta che non so dare
, bisognerebbe saperne di più di cose di logica o avere qualche riferimento bibliografico.
Certo, gli esempi in cui il passaggio all'infinito fallisce potrebbero essere tutti visti come esempio di non continuità del predicato visto come funzione (considerando il limite per $n$ che va all'infinito di una proposizione, qualunque cosa voglia dire, ripeto).
Continuo però a pensare, ma posso sbagliarmi a non vedere il nesso, che induzione e questione di proposizione che va all'infinito siano cose diverse.
La tua domanda è chiara, si capisce benissimo, è la risposta che non so dare
, bisognerebbe saperne di più di cose di logica o avere qualche riferimento bibliografico.
Ah, ok, grazie nuovamente della risposta. Come ho detto l'unico da cui ho sentito parlare di proposizioni legate alla continuità è solaàl, che però da quello che so non sta più sul forum (ma forse mi sbaglio).
Sì, solaàl non sta più sul Forum.
E certo che lo so che c'è ancora o, meglio, che c'è di nuovo.
Scusate se rispondo solo ora. Comunque provando a fare qualche ricerca non ho trovato nulla di comprensibile (nel senso che la cosa più facile che ho trovato penso sia argomento della magistrale e dunque per evitare errori passati, eviterò di provarci a capire qualcosa adesso che non ho i mezzi per capire).
@gugo82:se è veramente lui, si sta trattenendo molto. Per curiosità: cosa ti fa pensare che lo sia.
@gugo82:se è veramente lui, si sta trattenendo molto. Per curiosità: cosa ti fa pensare che lo sia.
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