Un dubbio sulla misura della sfera unitaria in $RR^n$
Buongiorno a tutti ragazzi; stavo guardando la dimostrazione del "Teorema" per la misura della sfera unitaria in $RR^n$.
Recita così:
TEOREMA
Per ogni $n in NN$ indichiamo con $omega_n$ la misura $m_n(B)$ della sfera unitaria $B={x in RR^n : |x|<=1 }$ di $RR^n$.
Si ha allora $omega_n=pi^(n/2)/(n/2Gamma(n/2))$.
La dimostrazione procede per induzione: il caso $n=1$ è già verificato e, pertanto, supponiamolo vero per $n$ e mostriamo che vale per $n+1$.
Si ha che $omega_(n+1)=m_(n+1)(B)= \int_{-1}^{1} m_n(B_t) dt$, dove $B_t={x in RR^n : (x,t) in B}= {x in RR^n : |x|^2<=1-t^2}$. Fin qui tutto chiaro.
Ora il libro afferma che, logicamente, per $t in (-1,1)$, $B_t$ ha raggio $sqrt(1-t^2)$ e quindi $m_n(B_t)=omega_n(1-t^2)^(n/2)$ e dunque (Per ipotesi induttiva) $m_n(B_t)=pi^(n/2)/(n/2Gamma(n/2))(1-t^2)^(n/2)$.
Sinceramente non riesco a capire da dove sbuca fuori il penultimo passaggio. Voi che ne dite??
Grazie a tutti e Buona Giornata.
Recita così:
TEOREMA
Per ogni $n in NN$ indichiamo con $omega_n$ la misura $m_n(B)$ della sfera unitaria $B={x in RR^n : |x|<=1 }$ di $RR^n$.
Si ha allora $omega_n=pi^(n/2)/(n/2Gamma(n/2))$.
La dimostrazione procede per induzione: il caso $n=1$ è già verificato e, pertanto, supponiamolo vero per $n$ e mostriamo che vale per $n+1$.
Si ha che $omega_(n+1)=m_(n+1)(B)= \int_{-1}^{1} m_n(B_t) dt$, dove $B_t={x in RR^n : (x,t) in B}= {x in RR^n : |x|^2<=1-t^2}$. Fin qui tutto chiaro.
Ora il libro afferma che, logicamente, per $t in (-1,1)$, $B_t$ ha raggio $sqrt(1-t^2)$ e quindi $m_n(B_t)=omega_n(1-t^2)^(n/2)$ e dunque (Per ipotesi induttiva) $m_n(B_t)=pi^(n/2)/(n/2Gamma(n/2))(1-t^2)^(n/2)$.
Sinceramente non riesco a capire da dove sbuca fuori il penultimo passaggio. Voi che ne dite??
Grazie a tutti e Buona Giornata.
Risposte
E' una questione di omogeneità.
In \(\mathbb{R}^n\) hai che \(m_n(\lambda A) = \lambda^n\, m_n(A)\) per ogni \(\lambda > 0\) e per ogni insieme misurabile \(A\subset\mathbb{R}^n\).
Di conseguenza, \(m_n(B(r)) = m_n(r B) = r^n\, m_n(B) = r^n\,\omega_n\), dove \(B(r)\) indica la palla di raggio \(r\) di \(\mathbb{R}^n\).
In \(\mathbb{R}^n\) hai che \(m_n(\lambda A) = \lambda^n\, m_n(A)\) per ogni \(\lambda > 0\) e per ogni insieme misurabile \(A\subset\mathbb{R}^n\).
Di conseguenza, \(m_n(B(r)) = m_n(r B) = r^n\, m_n(B) = r^n\,\omega_n\), dove \(B(r)\) indica la palla di raggio \(r\) di \(\mathbb{R}^n\).
Dunque dovrei mostrare che la misura è omogenea di grado n?
"JellyBean22":
Dunque dovrei mostrare che la misura è omogenea di grado n?
Immagino che questo ti sia già stato dimostrato a lezione.
Può darsi che tu abbia visto un teorema del tipo:
Se \(L\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n\) è una trasformazione lineare, allora \(m_n(L(A)) = \det L\cdot m_n(A)\), dove \(\det L\) è il determinante della matrice associata a \(L\) rispetto alla base canonica.
Nel caso di una dilatazione del tipo \(L(x) = \lambda\, x\) hai che \(\det L = \lambda^n\).
"JellyBean22":
Dunque dovrei mostrare che la misura è omogenea di grado n?
Se non vuoi usare il teorema completo che dice Rigel puoi dimostrare questa proposizione in modo piuttosto semplice ragionando per approssimazione. Prendi un rettangolo $N$-dimensionale \(R_N=\prod_{j=1}^N (a_j, b_j]\). (Puoi anche prendere intervalli chiusi, o aperti, o aperti a destra e chiusi a sinistra, fai come vuoi.) Chiaramente, la misura del rettangolo riscalato $\lambda R_N$ è $\lambda^N$-volte la misura di $R_N$. E ora fai partire la macchina standard dell'approssimazione: ogni aperto di $RR^N$ si puo' scomporre in una unione disgiunta di rettangoli $N$ dimensionali, quindi la formula vale per tutti gli aperti; e ogni misurabile di $RR^N$ si puo' approssimare con aperti, quindi la formula vale per gli insiemi misurabili.
(La dimostrazione potrebbe anche essere ancora più facile. Dipende da come hai definito la misura di Lebesgue. Il concetto è sempre quello: se una formula vale per i rettangoli, allora deve valere per tutti gli insiemi misurabili.)
Rispondo a Rigel: onestamente quella proposizione non la conosco. Però mi piacerebbe vederne una dimostrazione. Sul mio libro (Fusco-Marcellini-Sbordone), nel capitolo sulla misura di Peano-Jordan e nell'appendice dove viene riportato tale teorema, non viene riportata (Ma magari altrove si).
Rispondo a Dissonance: si in effetti ragionando in quel modo potrei convincermene. Come dicevo su, noi abbiamo trattato solo la misura di Peano-Jordan. Il ragionamento continuerebbe a filare comunque?
Grazie ad entrambi per l'aiuto!
Rispondo a Dissonance: si in effetti ragionando in quel modo potrei convincermene. Come dicevo su, noi abbiamo trattato solo la misura di Peano-Jordan. Il ragionamento continuerebbe a filare comunque?
Grazie ad entrambi per l'aiuto!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo