Un dubbio sul legame tra funzioni derivabili e discontinuità della derivata.
Salve. In Analisi 1, abbiamo introdotto le derivate e l'ultima cosa che abbiamo fatto nella scorsa lezione è il legame tra funzione derivabili e i punti di discontinuità della derivata, solo che ci siamo limitati a esibire un esempio di funzione derivabile in $0$ che ha per derivata una funzione che non ammette limite in $0$ e dunque che non è continua in tale punto. Ora, da quello che so dovrebbe valere il seguente teorema:
"Sia $f:[a,b]->RR$ continua in ogni punto del dominio e derivabile in ogni suo punto interno, allora se $u,v \in (a,b)$ con $u
Inoltre, se non è chiedere troppo, potreste dirmi se è giusto dire, in base a questo risultato che se $f$ rispetta quelle proprietà allora $f'$ non ha discontinuità di prima specie e inoltre all'interno dell'intervallo non può assumere limiti infiniti?
Edit:ho corretto l'enunciato.
"Sia $f:[a,b]->RR$ continua in ogni punto del dominio e derivabile in ogni suo punto interno, allora se $u,v \in (a,b)$ con $u
Inoltre, se non è chiedere troppo, potreste dirmi se è giusto dire, in base a questo risultato che se $f$ rispetta quelle proprietà allora $f'$ non ha discontinuità di prima specie e inoltre all'interno dell'intervallo non può assumere limiti infiniti?
Edit:ho corretto l'enunciato.
Risposte
Leggi il tuo messaggio facendo finta che non lo abbia scritto tu e dimmi se ti torna tutto.
Grazie per aver risposto. Ho corretto l'enunciato, tuttavia anocra non capisco dov'è l'errore. Il fatto che abbia sbagliato è ovvio, però non capisco dove.
Edit: Aspetta, forse...
$ lim_(h->0)(f(h)-f(0))/h=lim_(h->0)(1-1)/h=0 $
Dunque il problema è un altro. Una cosa a cui non avevo mai pensato, ma per derivare una funzione definita a tratti, dove però la funzione "cambia espressione" (so che è terribile da leggere, ma penso si sia capito) in un solo punto, si può fare la derivata di quell'espressione?
Se così non fosse succederebbe qualcosa di strano, perchè se non ho fatto errori di distrazioni, il limite del rapporto incrementale viene $0$, tuttavia la derivata di $x+1$ è $1$.
Edit: Aspetta, forse...
$ lim_(h->0)(f(h)-f(0))/h=lim_(h->0)(1-1)/h=0 $
Dunque il problema è un altro. Una cosa a cui non avevo mai pensato, ma per derivare una funzione definita a tratti, dove però la funzione "cambia espressione" (so che è terribile da leggere, ma penso si sia capito) in un solo punto, si può fare la derivata di quell'espressione?
Se così non fosse succederebbe qualcosa di strano, perchè se non ho fatto errori di distrazioni, il limite del rapporto incrementale viene $0$, tuttavia la derivata di $x+1$ è $1$.
Solo su aperti.
Difatti quella che hai scritto te è la funzione costante $1$, e la sua derivata è $0$ indipendentemente da come la rappresenti.
E comunque questo teorema garantisce che la derivata di una funzione non può avere discontinuità di salto, ma non che non possa avere limiti infiniti.
Difatti quella che hai scritto te è la funzione costante $1$, e la sua derivata è $0$ indipendentemente da come la rappresenti.
E comunque questo teorema garantisce che la derivata di una funzione non può avere discontinuità di salto, ma non che non possa avere limiti infiniti.
@otta96:Grazie, è veramente bello come fatto quello che mi hai fatto osservare. Comunque non mi era chiaro come possa assumere limiti infiniti, forse perchè l'ho sempre immaginata crescente mentre dovrebbe essere "oscillante"(altra brutta espressione, ma non mi viene come dirlo correttamente)?Se non ti dispiace, potresti farmi un esempio?
P.s: Un' altra domanda (scusa veramente le tante richieste): la derivata destra in un punto, coincide con il limite destro della derivata nel punto solo se il limite esiste, giusto? Il motivo è perchè tecnicamente starei scambiando l'ordine dei limiti e ciò mi è concesso solo sotto determinate ipotesi, giusto?
P.s: Un' altra domanda (scusa veramente le tante richieste): la derivata destra in un punto, coincide con il limite destro della derivata nel punto solo se il limite esiste, giusto? Il motivo è perchè tecnicamente starei scambiando l'ordine dei limiti e ciò mi è concesso solo sotto determinate ipotesi, giusto?
Oscillante come termine non mi sembra male 
Comunque un esempio può essere $\sqrt(x)$, per cui il limite della derivata vale $+\infty$. Se ci fai caso, ho un pochino "barato" perchè il punto in cui il limite della derivata non è interno al dominio e in quel punto non è derivabile, magari facevi fatica a pensare ad un controesempio perchè pensavi a fare il limite in un punto in cui la funzione fosse derivabile e penso che trovare un controesempio a quello sia più difficile, penso si possa riuscire a trovare ma ci dovrei pensare un po'.
P.S. Probabilmente il controesempio dovrebbe essere una variante del classico $x^2sin(1/x^2)$.
Comunque un esempio può essere $\sqrt(x)$, per cui il limite della derivata vale $+\infty$. Se ci fai caso, ho un pochino "barato" perchè il punto in cui il limite della derivata non è interno al dominio e in quel punto non è derivabile, magari facevi fatica a pensare ad un controesempio perchè pensavi a fare il limite in un punto in cui la funzione fosse derivabile e penso che trovare un controesempio a quello sia più difficile, penso si possa riuscire a trovare ma ci dovrei pensare un po'.
P.S. Probabilmente il controesempio dovrebbe essere una variante del classico $x^2sin(1/x^2)$.
Ok. Grazie di nuovo e scusa il disturbo.
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