Un dubbio con un limite
Ciao a tutti,
vorrei potervi porre una domanda poiché sto cercando aiuto su questo dubbio:
Se io avessi un limite del tipo: lim x->0 0/x come devo comportarmi nel ragionamento?
-Un primo metodo mi verrebbe da dire 0/x è una costante 0, quindi limite di x->0 di 0 è zero!
-Però poi penso, mi sto avvicinando a valori vicini a zero e per x tendente a zero avrei 0/0 che è indeterminata.
Insomma devo prima semplificare 0/x e dire che è zero (poiche dom: x diverso da 0) e poi fare il limite o calcolare come fosse 0/0, e perché si fa nel modo corretto che mi spiegherete.
Insomma cerco più che altro una risposta sul modus operandi logico più che una soluzione dove mi si dice è così come fanno i miei compagni alla mia domanda.
Grazie per aiutarmi a chiarire
vorrei potervi porre una domanda poiché sto cercando aiuto su questo dubbio:
Se io avessi un limite del tipo: lim x->0 0/x come devo comportarmi nel ragionamento?
-Un primo metodo mi verrebbe da dire 0/x è una costante 0, quindi limite di x->0 di 0 è zero!
-Però poi penso, mi sto avvicinando a valori vicini a zero e per x tendente a zero avrei 0/0 che è indeterminata.
Insomma devo prima semplificare 0/x e dire che è zero (poiche dom: x diverso da 0) e poi fare il limite o calcolare come fosse 0/0, e perché si fa nel modo corretto che mi spiegherete.
Insomma cerco più che altro una risposta sul modus operandi logico più che una soluzione dove mi si dice è così come fanno i miei compagni alla mia domanda.
Grazie per aiutarmi a chiarire
Risposte
Come hai scritto nel primo ragionamento:
e, in generale:
proprio perché il numeratore nullo è una costante.
$lim_(x->0) 0/x =0$
e, in generale:
$lim_(x->c) 0/x =0 text( con ) c in RR cup +-oo$
proprio perché il numeratore nullo è una costante.
Grazie per la risposta
Il mio dubbio nasce per questo ragionamento che sbaglio ma non capisco dove sia la differenza:
mettiamo di avere
$lim_(x->0) 0/x =0$ più x tende a zero però vince lo zero sopra.
$lim_(x->0) sin(x)/x$ anche qui ho a numeratore qualcosa che è zero praticamente e sotto anche, però 0/0 è indeterminata
perché nel primo caso 0/0 non è indeterminata invece?
Ho pensato che potrebbe essere questa la risposta: mentre nel primo caso ho a numeratore 0 che è un valore fissato qualunque sia il denominatore sarà appunto sempre zero
Mentre nel secondo caso entrambi variano (num e den) e quindi si riduce a una sorta di "confronto" ma non so quale tenda prima" a zero.
Mi manca in pratica la risposta intuitiva al dubbio, è questo che cercavo
Il mio dubbio nasce per questo ragionamento che sbaglio ma non capisco dove sia la differenza:
mettiamo di avere
$lim_(x->0) 0/x =0$ più x tende a zero però vince lo zero sopra.
$lim_(x->0) sin(x)/x$ anche qui ho a numeratore qualcosa che è zero praticamente e sotto anche, però 0/0 è indeterminata
perché nel primo caso 0/0 non è indeterminata invece?
Ho pensato che potrebbe essere questa la risposta: mentre nel primo caso ho a numeratore 0 che è un valore fissato qualunque sia il denominatore sarà appunto sempre zero
Mentre nel secondo caso entrambi variano (num e den) e quindi si riduce a una sorta di "confronto" ma non so quale tenda prima" a zero.
Mi manca in pratica la risposta intuitiva al dubbio, è questo che cercavo
"martao":
Ho pensato che potrebbe essere questa la risposta: mentre nel primo caso ho a numeratore 0 che è un valore fissato qualunque sia il denominatore sarà appunto sempre zero
Mentre nel secondo caso entrambi variano (num e den) e quindi si riduce a una sorta di "confronto"
Esatto
"martao":
ma non so quale tenda prima" a zero.
Ci sono diversi modi per valutare il limite di un rapporto tra infinitesimi - gerarchia degli infinitesimi, limiti notevoli, polinomio di Taylor o McLaurin, regola di de l'Hôpital, teorema del confronto... Questo ad esempio è un limite notevole: se non si ricorda, si può risolvere facilmente con McLaurin:
$lim_(x->0) sin(x)/x= (x+x^3/6+o(x^3))/x=1$
o con de l'Hôpital:
$lim_(x->0) sin(x)/x= 0/0 =>cos(x)/1=1$
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