Un dubbio...
Perché la funzione $y=x^x$ ha come dominio solo le $x>0$ ???
Mi èsaltato subito agli occhi che se scrivo la funzione in forma logaritmica verrebbe $y=xlogx$ e quindi per l'esistenza del logaritmo la x deve essere maggiore di zero.
Però come ho fatto notare in un altro thread se $x=-2$, $y=1/4$ e $-2<0$, però se $x=-1/4$ la y non è più reale... Come si può spiegare questa contraddizione?
Qualcuno mi può chiarire le idee per quanto riguarda in generale i dominii delle funzioni esponenziali?
Grazie in anticipo.
Mi èsaltato subito agli occhi che se scrivo la funzione in forma logaritmica verrebbe $y=xlogx$ e quindi per l'esistenza del logaritmo la x deve essere maggiore di zero.
Però come ho fatto notare in un altro thread se $x=-2$, $y=1/4$ e $-2<0$, però se $x=-1/4$ la y non è più reale... Come si può spiegare questa contraddizione?
Qualcuno mi può chiarire le idee per quanto riguarda in generale i dominii delle funzioni esponenziali?
Grazie in anticipo.
Risposte
la funzione $y=x^x=e^(xlog(x))$
per i domini delle funzioni esponenziali se n'è discusso qui
http://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=21648
per i domini delle funzioni esponenziali se n'è discusso qui
http://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=21648
provo a dare una risposta molto sintetica
0.
sarebbe cosa carina ricordare, come Luca.Lussardi fa, che prima si dovrebbe dire chi sono dominio e codominio e poi si da' la "legge" che definisce la funzione cui si e' interessati
1.
vi e' comunque, come ben noto, un uso diffuso di una procedura diversa, ed e' da questo che sorgono i dubbi postati da Volvox (e da tanti altri; e' un tema ricorrente). Questa procedura consiste nel dare una "formula" (piu' o meno complessa) per la funzione e poi chiedersi chi sia il dominio. Questa usanza e' cosi' diffusa, soprattutto nelle scuole secondarie (ma non solo...) che un tipico esercizio di "studio di funzione" comincia proprio con il problema di determinare il dominio di definizione.
2.
come interpretare allora il problema di trovare il dominio di definizione? La interpretazione standard e' quella di trovare il piu' grande insieme su cui la formula (le formule, se del caso) abbia significato.
Esempio: $\log x$ sara' quindi definita per $x>0$; $1/x$ sara' definita per $x !=0$, etc.
3.
perche' allora a volte spuntano fuori dei guai?
3a.
Perche' vi sono delle cose sottintese. Alcune cosi' ovvie che non e' quasi neanche il caso di dirlo. Una cosa e' che si sta lavorando nel campo reale. Io ho dato per scontato questo nei due esempi precedenti. Perche' se, ad esempio, stessi lavorando dentro a $\ZZ$ (gli interi), $1/x$ sarebbe definita solo per $x \in {-1,1}$. Anche per il primo esempio, quello del logaritmo, le cose cambierebbero se fossimo a lavorare in $\CC$ (con un bel po' di problemi non banali, visto che il cosiddetto "logaritmo complesso" e' una "funzione polidroma", per cui e' da maneggiare con la massima cura). Cambierebbero anche se fossimo a lavorare in $\QQ$!
3b.
A volte questo detto qui sopra non basta. Ed e' proprio il caso della funzione di cui stiamo "parlando": $x^x$. Diamo pure per scontato che stiamo lavorando in $\RR$. Sul fatto che sia definita per $x>0$ non ci piove. Il problema e' se sia definita anche per $x \le 0$. La risposta e': "dipende".
Dipende da cosa ci interessa.
- Se vogliamo una funzione che sia trattabile con i metodi standard dell'analisi (diciamo quelli tipici dello "studio di funzioni"), la risposta e' che non si puo' definire per $x \le 0$.
- Se invece (non capisco per farsene cosa! Magari e' solo per legittima curiosita'...) uno vuole sapere per quali valori sia comunque definibile, la risposta e' ancora articolata! E dipende da cosa si intende per "comunque definibile". Se uno si accontenta del fatto che il "calcolo" richiesto sia tale da rientrare in uno dei casi di elevazione a potenza gia' studiati (da piccoli) e' evidente che se $x=-2$ ci troviamo in uno dei casi piu' semplici. Altri se ne possono fare, naturalmente. Ma occorre fare attenzione perche' le regole per le potenze rischiano di saltare se si lavora con base negativa...
0.
sarebbe cosa carina ricordare, come Luca.Lussardi fa, che prima si dovrebbe dire chi sono dominio e codominio e poi si da' la "legge" che definisce la funzione cui si e' interessati
1.
vi e' comunque, come ben noto, un uso diffuso di una procedura diversa, ed e' da questo che sorgono i dubbi postati da Volvox (e da tanti altri; e' un tema ricorrente). Questa procedura consiste nel dare una "formula" (piu' o meno complessa) per la funzione e poi chiedersi chi sia il dominio. Questa usanza e' cosi' diffusa, soprattutto nelle scuole secondarie (ma non solo...) che un tipico esercizio di "studio di funzione" comincia proprio con il problema di determinare il dominio di definizione.
2.
come interpretare allora il problema di trovare il dominio di definizione? La interpretazione standard e' quella di trovare il piu' grande insieme su cui la formula (le formule, se del caso) abbia significato.
Esempio: $\log x$ sara' quindi definita per $x>0$; $1/x$ sara' definita per $x !=0$, etc.
3.
perche' allora a volte spuntano fuori dei guai?
3a.
Perche' vi sono delle cose sottintese. Alcune cosi' ovvie che non e' quasi neanche il caso di dirlo. Una cosa e' che si sta lavorando nel campo reale. Io ho dato per scontato questo nei due esempi precedenti. Perche' se, ad esempio, stessi lavorando dentro a $\ZZ$ (gli interi), $1/x$ sarebbe definita solo per $x \in {-1,1}$. Anche per il primo esempio, quello del logaritmo, le cose cambierebbero se fossimo a lavorare in $\CC$ (con un bel po' di problemi non banali, visto che il cosiddetto "logaritmo complesso" e' una "funzione polidroma", per cui e' da maneggiare con la massima cura). Cambierebbero anche se fossimo a lavorare in $\QQ$!
3b.
A volte questo detto qui sopra non basta. Ed e' proprio il caso della funzione di cui stiamo "parlando": $x^x$. Diamo pure per scontato che stiamo lavorando in $\RR$. Sul fatto che sia definita per $x>0$ non ci piove. Il problema e' se sia definita anche per $x \le 0$. La risposta e': "dipende".
Dipende da cosa ci interessa.
- Se vogliamo una funzione che sia trattabile con i metodi standard dell'analisi (diciamo quelli tipici dello "studio di funzioni"), la risposta e' che non si puo' definire per $x \le 0$.
- Se invece (non capisco per farsene cosa! Magari e' solo per legittima curiosita'...) uno vuole sapere per quali valori sia comunque definibile, la risposta e' ancora articolata! E dipende da cosa si intende per "comunque definibile". Se uno si accontenta del fatto che il "calcolo" richiesto sia tale da rientrare in uno dei casi di elevazione a potenza gia' studiati (da piccoli) e' evidente che se $x=-2$ ci troviamo in uno dei casi piu' semplici. Altri se ne possono fare, naturalmente. Ma occorre fare attenzione perche' le regole per le potenze rischiano di saltare se si lavora con base negativa...
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