Un dubbio...
cari amici
in un postato comparso di recente è stato sollevato il problema del campo di definizione della funzione integrale allorché la funzione integrando presenta una singolarità. Il problema è stato sollevato dal seguente esempio di funzione in x…
f(x) = Int [-1
Qui è stato fatto rilevare, del tutto esattamente, che per t=-1/2 la funzione integranda presenta un infinito di ordine 1 [ossia tende ad infinito come 1/t…] e pertanto per x=-1/2 l’integrale diverge. In base a questa considerazione si è concluso che il campo di definizione della (1) è limitato a valori di x strettamente minori di -1/2. Per far comprendere un mio personale dubbio riguardo a questa conclusione penso sia opportuno ricorrere ad un esempio analogo ma più ‘semplice’ . L’esempio è il seguente…
f(x) = Int [-1
Naturalmente si tratta di una funzione la cui integrazione è del tutto elementare. Per x<0 si ha evidentemente…
f(x) = ln |x| (3)
Viene spontaneo però a questo punto chiedersi che cosa succede per x>0. Un modo per calcolare la (2) ‘isolando’ la singolarità potrebbe essere il seguente. Dato x>0, supponiamo di calcolare la (2) come…
f(x) = lim e->0 (Int [-1
E’ del tutto evidente che in tal modo abbiamo ottenuto la funzione in x qui rappresentata…
Essa è una funzione ‘pari’ in x [ossia è f(x)=f(-x)…] e presenta una singolarità in x=0…
Una ovvia domanda a questo punto è la seguente: è stato corretto da parte mia questo modo di procedere?…
cordiali saluti
lupo grigio
in un postato comparso di recente è stato sollevato il problema del campo di definizione della funzione integrale allorché la funzione integrando presenta una singolarità. Il problema è stato sollevato dal seguente esempio di funzione in x…
f(x) = Int [-1
Qui è stato fatto rilevare, del tutto esattamente, che per t=-1/2 la funzione integranda presenta un infinito di ordine 1 [ossia tende ad infinito come 1/t…] e pertanto per x=-1/2 l’integrale diverge. In base a questa considerazione si è concluso che il campo di definizione della (1) è limitato a valori di x strettamente minori di -1/2. Per far comprendere un mio personale dubbio riguardo a questa conclusione penso sia opportuno ricorrere ad un esempio analogo ma più ‘semplice’ . L’esempio è il seguente…
f(x) = Int [-1
Naturalmente si tratta di una funzione la cui integrazione è del tutto elementare. Per x<0 si ha evidentemente…
f(x) = ln |x| (3)
Viene spontaneo però a questo punto chiedersi che cosa succede per x>0. Un modo per calcolare la (2) ‘isolando’ la singolarità potrebbe essere il seguente. Dato x>0, supponiamo di calcolare la (2) come…
f(x) = lim e->0 (Int [-1
E’ del tutto evidente che in tal modo abbiamo ottenuto la funzione in x qui rappresentata…
Essa è una funzione ‘pari’ in x [ossia è f(x)=f(-x)…] e presenta una singolarità in x=0…
Una ovvia domanda a questo punto è la seguente: è stato corretto da parte mia questo modo di procedere?…
cordiali saluti
lupo grigio
Risposte
Mmmm molto interessante!
Per ora, per quanto mi sforzi, non vedo inconguenze che possano sorgere da questo modo di agire...
L'unica cosa che potrei contestare e' l'uso di questa tecnica ad esempio per risolvere l'integrale scaturito dalla risoluzione di una equazione differenziale che provenga da un ambito fisico: non ha senso dire che un sistema fisico abbia un punto nel tempo in cui non esiste (diverge) e poi ritorni indietro...
Pero' rimango in attesa del giudizio di qualche matematico vero che conosca meglio il modo piu' rigoroso per procedere...
Per ora, per quanto mi sforzi, non vedo inconguenze che possano sorgere da questo modo di agire...
L'unica cosa che potrei contestare e' l'uso di questa tecnica ad esempio per risolvere l'integrale scaturito dalla risoluzione di una equazione differenziale che provenga da un ambito fisico: non ha senso dire che un sistema fisico abbia un punto nel tempo in cui non esiste (diverge) e poi ritorni indietro...
Pero' rimango in attesa del giudizio di qualche matematico vero che conosca meglio il modo piu' rigoroso per procedere...
vale la seguente definizione di integrale improprio:
sia f definita su [a,b], con c punto di infinito per f su [a,b],
la funzione è integrabile in senso improprio se entrambi gli integrali
di f su [a,c) e su (c,b] convergono (ne basta uno solo non convergente per escudere l'integrabilità di f)
f(x) = Int [-1
f(2)= Int [-1
il primo non converge cosi' come il secondo
sia f definita su [a,b], con c punto di infinito per f su [a,b],
la funzione è integrabile in senso improprio se entrambi gli integrali
di f su [a,c) e su (c,b] convergono (ne basta uno solo non convergente per escudere l'integrabilità di f)
f(x) = Int [-1
f(2)= Int [-1
il primo non converge cosi' come il secondo
La premessa citata da Piera, vale a dire…
Sia f definita su [a,b], con c punto di infinito per f su [a,b]. La funzione è integrabile in senso improprio se entrambi gli integrali di f su [a,c) e su (c,b] convergono…
… è senza alcun dubbio ineccepibile. La successiva conclusione, vale dire…
… basta uno solo non convergente per escludere l'integrabilità di f…
… sarebbe stata tuttavia logica conseguenza della premessa se al posto di quel ‘se’ vi fosse stato un ‘se e solo se’…
Al di là delle definizioni formali tuttavia penso sia più utile e interessante esaminare un problema nel quale il dubbio da me esternato è particolarmente significativo. Tempo fa [doveva essere l’estate dello scorso anno…] è stato posto sul forum un problema un poco originale cui non è stata trovata una risposta del tutto soddisfacente. Il problema era il seguente: dato un punto materiale posto al tempo t=0 a distanza di un anno luce dalla terra e con velocità =0, trascurando la presenza di ogni altro corpo materiale nell’universo, determinare l’istante il cui il corpo materiale impatterà sulla terra. Cerchiamo di riproporlo ora facendo riferimento alla figura seguente…
Indichiamo nel punto di ascissa x=0 il baricentro di un ipotetico ‘buco nero’ e scegliamo un sistema di misura in modo che il punto materiale sia all’istante iniziale con velocità nulla, distanza unitaria dal ‘buco nero’ e con accelerazione unitaria. L’equazione che determina il moto del punto materiale [lasciando in pace Einstein e la sua relatività…] è la seguente…
$x’’= -1/(x^2)$ (1)
Ricordo assai bene che la soluzione della (1), affrontata direttamente con metodi numerici, si è rivelata impresa non particolarmente agevole. Utilizzando un piccolo espediente è possibile trasformare la (1) in una equazione differenziale del primo ordine. Dal momento che il sistema non ha perdite, il lavoro compiuto dalla forza gravitazionale deve eguagliare l’incremento di energia cinetica del punto materiale, per cui possiamo scrivere…
$½*m*x’^2= int_1^x m/(s^2) ds= m*(1-x)/x$ (2)
… ove m è la massa del punto materiale. Dalla (2) si ottiene facilmente…
$x’= +/- sqrt(2)* sqrt ((1-x)/x)$ (3)
Già ad una prima occhiata la (3) rivela che per x=0 la velocità del punto materiale [e quindi la sua energia…] cresce senza limiti e questa è la prima ‘sorpresa’. Studiamo ora la soluzione nell’intervallo 0
$int sqrt ((1-x)/x) dx = sqrt(2) * t + c$ (4)
Con un poco di pazienza si trova che l’integrale che compare al primo termine vale…
$sqrt (x*(1-x)) + atn sqrt ((1-x)/x)$ (5)
… per cui la soluzione sarà [tenendo conto anche delle condizioni iniziali]…
$sqrt(x*(1-x))+ atn sqrt ((1-x)/x) = sqrt (2)*t$ (6)
La (6) consente di calcolare il tempo in cui il punto materiale raggiungerà il centro del ‘buco nero’. Esso vale…
$t_0= pi/(2*sqr(2))$ (7)
Che cosa succede dopo questo istante lo vedremo prossimamente. Per il momento le ‘sorprese’ dovrebbero bastare…
cordiali saluti
lupo grigio
Sia f definita su [a,b], con c punto di infinito per f su [a,b]. La funzione è integrabile in senso improprio se entrambi gli integrali di f su [a,c) e su (c,b] convergono…
… è senza alcun dubbio ineccepibile. La successiva conclusione, vale dire…
… basta uno solo non convergente per escludere l'integrabilità di f…
… sarebbe stata tuttavia logica conseguenza della premessa se al posto di quel ‘se’ vi fosse stato un ‘se e solo se’…
Al di là delle definizioni formali tuttavia penso sia più utile e interessante esaminare un problema nel quale il dubbio da me esternato è particolarmente significativo. Tempo fa [doveva essere l’estate dello scorso anno…] è stato posto sul forum un problema un poco originale cui non è stata trovata una risposta del tutto soddisfacente. Il problema era il seguente: dato un punto materiale posto al tempo t=0 a distanza di un anno luce dalla terra e con velocità =0, trascurando la presenza di ogni altro corpo materiale nell’universo, determinare l’istante il cui il corpo materiale impatterà sulla terra. Cerchiamo di riproporlo ora facendo riferimento alla figura seguente…
Indichiamo nel punto di ascissa x=0 il baricentro di un ipotetico ‘buco nero’ e scegliamo un sistema di misura in modo che il punto materiale sia all’istante iniziale con velocità nulla, distanza unitaria dal ‘buco nero’ e con accelerazione unitaria. L’equazione che determina il moto del punto materiale [lasciando in pace Einstein e la sua relatività…] è la seguente…
$x’’= -1/(x^2)$ (1)
Ricordo assai bene che la soluzione della (1), affrontata direttamente con metodi numerici, si è rivelata impresa non particolarmente agevole. Utilizzando un piccolo espediente è possibile trasformare la (1) in una equazione differenziale del primo ordine. Dal momento che il sistema non ha perdite, il lavoro compiuto dalla forza gravitazionale deve eguagliare l’incremento di energia cinetica del punto materiale, per cui possiamo scrivere…
$½*m*x’^2= int_1^x m/(s^2) ds= m*(1-x)/x$ (2)
… ove m è la massa del punto materiale. Dalla (2) si ottiene facilmente…
$x’= +/- sqrt(2)* sqrt ((1-x)/x)$ (3)
Già ad una prima occhiata la (3) rivela che per x=0 la velocità del punto materiale [e quindi la sua energia…] cresce senza limiti e questa è la prima ‘sorpresa’. Studiamo ora la soluzione nell’intervallo 0
$int sqrt ((1-x)/x) dx = sqrt(2) * t + c$ (4)
Con un poco di pazienza si trova che l’integrale che compare al primo termine vale…
$sqrt (x*(1-x)) + atn sqrt ((1-x)/x)$ (5)
… per cui la soluzione sarà [tenendo conto anche delle condizioni iniziali]…
$sqrt(x*(1-x))+ atn sqrt ((1-x)/x) = sqrt (2)*t$ (6)
La (6) consente di calcolare il tempo in cui il punto materiale raggiungerà il centro del ‘buco nero’. Esso vale…
$t_0= pi/(2*sqr(2))$ (7)
Che cosa succede dopo questo istante lo vedremo prossimamente. Per il momento le ‘sorprese’ dovrebbero bastare…
cordiali saluti
lupo grigio
effettivamente, la parte scritta tra parentesi non c'è nella definizione...l'ho aggiunta io...
Molto bene!… Riprendiamo ora un attimo il problema da dove lo avevamo lasciato, vale a dire nel momento in cui il punto materiale raggiunge il centro del ‘buco nero’, vale dire dopo un tempo…
$t_0= pi/(2*sqr(2)) (1)
Che cosa succede dopo ?… In base al buon senso ci si dovrebbe aspettare che la posizione del punto da quel momento in poi assuma valori negativi. Se così è però, ricordando l’espressione della velocità del punto materiale…
$x’= +/- sqrt(2)* sqrt ((1-x)/x) (2)
… ci si accorge che il valore sotto radice quadrata diviene negativo e questo sembra di primo acchito un’altra ‘sorpresa’ che ci riserva il ‘buco nero’. In breve però ci si rende conto che così non è, dal momento che l’accelerazione cambia a sua volta segno e per x<0 l’equazione della traiettoria del punto diviene…
$x’’ = 1/(x^2)$ (3)
e quindi la velocità, sempre per x<0 diviene…
$x’= +/- sqrt(2)*sqrt (-(1+x)/x)$ (4)
Avendo ribaltato l’asse temporale non è difficile rendersi conto che la soluzione per x<0 è simmetrica rispetto alla soluzione per x>0, quella cioè trovata prima. Il punto materiale pertanto al tempo $t=2*t_0$ sarà nella posizione x=-1 con velocità nulla e da questo momento le cose si ripetono, fornendo alla fine una soluzione periodica del tipo di quella mostrata in figura…
Notiamo che per valori di t uguali ad un multiplo pari di to la velocità del punto materiale è nulla, mentre per valori uguali ad un multiplo dispari di to la velocità del punto materiale diviene in modulo illimitata, così come pure la sua energia cinetica. A questo punto qualche meditazione si imporrebbe, non è vero?…
cordiali saluti
lupo grigio
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