Un chiarimento sull'integrale improprio
Ciao volevo levarmi un dubbio sulla risoluzione di integrali impropri con parametro:
Il mio prof dopo avere individuato le discontinuità fa il limite della funzione integranda fratto la funzione da confrontare... fino qua ci sono.
Però non capisco come devo comportarmi in base al risultato del limite se è un numero reale vuol dire che converge...se fa 0 o infinito?
Cioè ho capito come individuare la convergenza ma questo lo fa dopo il limite. Spero di essere stata chiara.
Il mio prof dopo avere individuato le discontinuità fa il limite della funzione integranda fratto la funzione da confrontare... fino qua ci sono.
Però non capisco come devo comportarmi in base al risultato del limite se è un numero reale vuol dire che converge...se fa 0 o infinito?
Cioè ho capito come individuare la convergenza ma questo lo fa dopo il limite. Spero di essere stata chiara.
Risposte
Veramente, non tanto. Comunque, quello che devi fare è, innanzitutto, capire che ordine di infinitesimo o infinito ha la tua funzione neli punti dove non è continua o nei punti all'infinito (ed è quello che fa il tuo Prof. quando calcola il limite con la funzione da confrontare). A questo punto, otterrai che la funzione $f(x)$ che vuoi integrare si può sostituire, in un intervallo piccolo contenete il punto incriminato, al modo seguente:
$f(x)\sim\frac{k}{(x-x_0)^\alpha}$ per $x_0\ne\pm\infty$
$f(x)\sim\frac{k}{x^\alpha}$ quando sei vicina al punto all'infinito.
Fatto questo puoi usare il seguente criterio:
L'integrale $\int_{x_0}^a f(x)\ dx$ converge se e solo se $\alpha> -1$
L'integrale $\int_a^{+\infty} f(x)\ dx$ converge se e solo se $\alpha<-1$.
$f(x)\sim\frac{k}{(x-x_0)^\alpha}$ per $x_0\ne\pm\infty$
$f(x)\sim\frac{k}{x^\alpha}$ quando sei vicina al punto all'infinito.
Fatto questo puoi usare il seguente criterio:
L'integrale $\int_{x_0}^a f(x)\ dx$ converge se e solo se $\alpha> -1$
L'integrale $\int_a^{+\infty} f(x)\ dx$ converge se e solo se $\alpha<-1$.
Grazie per la risposta... Però ho ancora un piccolo dubbio:una volta trovato l'ordine di infinito o di infinitesimo cosa me ne faccio??
Usi il risultato che ti ho scritto: ad esempio se trovi che l'ordine di infinitisimo in x che tende ad infinito della funzione $f(x)$ è $-3$ e quindi che
$f(x)\sim\frac{1}{x^3}$
questo implica che l'integrale
$\int_1^{+\infty} f(x)\ dx\sim\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^3}\ dx$
e quindi converge!
$f(x)\sim\frac{1}{x^3}$
questo implica che l'integrale
$\int_1^{+\infty} f(x)\ dx\sim\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^3}\ dx$
e quindi converge!
Mi puoi fare un esempio...scusa sai e che tra poco ho l'esame e non ho ancora capito bene
per esempio ho questo integrale: $int_{0}^{1/2} dx/(x((-logx^3)^alpha)+2x^2+x^4)$
Vado a vedere come si comporta per $x->0^+$(a 1/2 non ho problemi);
Confronto la mia funzione integranda con la funzione $1/x^alpha$ il limite mi viene infinito... non capisco nulla
Vado a vedere come si comporta per $x->0^+$(a 1/2 non ho problemi);
Confronto la mia funzione integranda con la funzione $1/x^alpha$ il limite mi viene infinito... non capisco nulla
Eh no, aspetta. La alfa che usi in questo esercizio non è quella di cui sto parlando io! In questo caso devi calcolare per quale $\beta$ hai che
$\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{\frac{1}{x((-\log x^3)^\alpha)+2x^2+x^4}}{\frac{1}{x^\beta}}=k\ne 0,\pm\infty$
Poiché si ha che
$x^n\log^m x\sim x^n$ per $x\rightarrow 0$, segue che il limite precedente diviene
$\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{x^\beta}{x+2x^2+x^4}=\lim_{x\rightarrow 0^+}x^{\beta-1}$
e l'ultimo limite è pari ad una costante non nulla (in questo caso 1) se e solo se $\beta=1$. Questo implica che l'integrale non converge!
$\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{\frac{1}{x((-\log x^3)^\alpha)+2x^2+x^4}}{\frac{1}{x^\beta}}=k\ne 0,\pm\infty$
Poiché si ha che
$x^n\log^m x\sim x^n$ per $x\rightarrow 0$, segue che il limite precedente diviene
$\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{x^\beta}{x+2x^2+x^4}=\lim_{x\rightarrow 0^+}x^{\beta-1}$
e l'ultimo limite è pari ad una costante non nulla (in questo caso 1) se e solo se $\beta=1$. Questo implica che l'integrale non converge!
ok inizio piano piano a capire mi potresti aiutaresu questo (sempre se vuoi):
$int_{1}^{oo} log(1+(1/x))/((x-1)^alpha) dx$
Singolarità: $1,+oo$
Per $x->1^+$
$\lim_{x\rightarrow 1^+} log(1+(1/x))/((x-1)^alpha)/(1/(x-1)^alpha)$??
$int_{1}^{oo} log(1+(1/x))/((x-1)^alpha) dx$
Singolarità: $1,+oo$
Per $x->1^+$
$\lim_{x\rightarrow 1^+} log(1+(1/x))/((x-1)^alpha)/(1/(x-1)^alpha)$??
"valentinax89":
ok inizio piano piano a capire mi potresti aiutaresu questo (sempre se vuoi):
$int_{1}^{oo} log(1+(1/x))/((x-1)^alpha) dx$
Singolarità: $1,+oo$
Per $x->1^+$
$\lim_{x\rightarrow 1^+} log(1+(1/x))/((x-1)^alpha)/(1/(x-1)^alpha)$??
che comunque farebbe se non erro log2
"valentinax89":
$\lim_{x\rightarrow 1^+} log(1+(1/x))/((x-1)^\alpha)/(1/(x-1)^\beta)$??
Non devi rimetterci $\alpha$!
Quella è una costante da determinare nel problema! Tu ci devi mettere un'altra lettera per indicare l'ordine di infinito/infinitesimo! Senti, io ora devo scappare, ci sono di nuovo stasera e ti spiego, ok? Ciao!
Ok ciai grazie ancora
Allora, ritorniamo a noi. In questo caso devi verificare per quali valori di $\beta$ tu abbia
$\lim_{x\rightarrow 1^+} log(1+(1/x))/((x-1)^\alpha)/(1/(x-1)^\beta)=k\ne 0,\pm\infty$.
Questo vuol dire che
$\lim_{x\rightarrow 1^+} log(1+(1/x))/((x-1)^\alpha)/(1/(x-1)^\beta)=\lim_{x\rightarrow 1^+} log(1+(1/x))\cdot(x-1)^{\beta-\alpha}=\log 2\cdot\lim_{x\rightarrow 1^+} (x-1)^{\beta-\alpha}$
e questo limite è pari a $\log 2$ se e solo se $\beta=\alpha$. A questo punto puoi concludere che la tua funzione integranda vicino ad 1 si comporta come
$1/{x-1}^\alpha$ e quindi converge se e solo se $\alpha<1$. Osserva che se $\alpha<0$, allora $x-1$ sparisce dal denominatore e passa al numeratore e quindi i "problemi" nel punto $x=1$ non si presentano.
Per quanto riguarda il comportamento all'infinito, Osserva che il logaritmo tende a 0, mentre per la funzione $1/{(x-1)^\alpha}$ si ha limite uguale a $0$, $1$ o $+\infty$ a seconda che $\alpha>0$, $\alpha=0$, $\alpha<0$. Nel primo e secondo caso la funzione integranda risulta infinitesima in $+\infty$, e quindi devi considerare il limite
$\lim_{x\rightarrow +\infty} log(1+(1/x))/((x-1)^\alpha)/(1/x^\beta)=\lim_{x\rightarrow +\infty} log(1+(1/x))\cdot x^\beta/(x-1)^\alpha=$
$\quad =\lim_{x\rightarrow +\infty} log(1+(1/x))\cdot x^{\beta-\alpha}=$
$\quad =\lim_{x\rightarrow +\infty} x\cdot\log(1+(1/x))\cdot x^{\beta-\alpha-1}=$
$\quad =\lim_{x\rightarrow +\infty} log(1+(1/x))^x\cdot x^{\beta-\alpha-1}=$
$\quad =\lim_{x\rightarrow +\infty} \log(e)\cdot x^{\beta-\alpha-1}$
il quale ha limite diverso da zero se e solo se $\beta=\alpha+1$ e quindi se $\alpha\ge 0$ la funzione integranda risulta avere il comportamento asintotico all'infinito del tipo $1/x^{\alpha+1}$ per cui converge se e solo se $\alpha+1>1$, cioè se e solo se $\alpha>0$.
Se invece $\alpha<0$ la tua funzione integranda è infinita e questo implica che sarà sicuramente non integrabile all'infinito.
Riassumendo hai dimostrato quanto segue:
1) l'integrale converge vicino ad 1 per $\alpha<1$
2) l'integrale converge vicino $+\infty$ per $\alpha>0$.
Mettendo insieme queste due condizioni ottieni che l'integrale converge se e solo se $0<\alpha<1$.
Spero che sia chiaro!
$\lim_{x\rightarrow 1^+} log(1+(1/x))/((x-1)^\alpha)/(1/(x-1)^\beta)=k\ne 0,\pm\infty$.
Questo vuol dire che
$\lim_{x\rightarrow 1^+} log(1+(1/x))/((x-1)^\alpha)/(1/(x-1)^\beta)=\lim_{x\rightarrow 1^+} log(1+(1/x))\cdot(x-1)^{\beta-\alpha}=\log 2\cdot\lim_{x\rightarrow 1^+} (x-1)^{\beta-\alpha}$
e questo limite è pari a $\log 2$ se e solo se $\beta=\alpha$. A questo punto puoi concludere che la tua funzione integranda vicino ad 1 si comporta come
$1/{x-1}^\alpha$ e quindi converge se e solo se $\alpha<1$. Osserva che se $\alpha<0$, allora $x-1$ sparisce dal denominatore e passa al numeratore e quindi i "problemi" nel punto $x=1$ non si presentano.
Per quanto riguarda il comportamento all'infinito, Osserva che il logaritmo tende a 0, mentre per la funzione $1/{(x-1)^\alpha}$ si ha limite uguale a $0$, $1$ o $+\infty$ a seconda che $\alpha>0$, $\alpha=0$, $\alpha<0$. Nel primo e secondo caso la funzione integranda risulta infinitesima in $+\infty$, e quindi devi considerare il limite
$\lim_{x\rightarrow +\infty} log(1+(1/x))/((x-1)^\alpha)/(1/x^\beta)=\lim_{x\rightarrow +\infty} log(1+(1/x))\cdot x^\beta/(x-1)^\alpha=$
$\quad =\lim_{x\rightarrow +\infty} log(1+(1/x))\cdot x^{\beta-\alpha}=$
$\quad =\lim_{x\rightarrow +\infty} x\cdot\log(1+(1/x))\cdot x^{\beta-\alpha-1}=$
$\quad =\lim_{x\rightarrow +\infty} log(1+(1/x))^x\cdot x^{\beta-\alpha-1}=$
$\quad =\lim_{x\rightarrow +\infty} \log(e)\cdot x^{\beta-\alpha-1}$
il quale ha limite diverso da zero se e solo se $\beta=\alpha+1$ e quindi se $\alpha\ge 0$ la funzione integranda risulta avere il comportamento asintotico all'infinito del tipo $1/x^{\alpha+1}$ per cui converge se e solo se $\alpha+1>1$, cioè se e solo se $\alpha>0$.
Se invece $\alpha<0$ la tua funzione integranda è infinita e questo implica che sarà sicuramente non integrabile all'infinito.
Riassumendo hai dimostrato quanto segue:
1) l'integrale converge vicino ad 1 per $\alpha<1$
2) l'integrale converge vicino $+\infty$ per $\alpha>0$.
Mettendo insieme queste due condizioni ottieni che l'integrale converge se e solo se $0<\alpha<1$.
Spero che sia chiaro!
ok ho capito...comunque il secondo limite tende a infinito vero ti sei sbagliato a scrivere... In ogni caso grazie grazie grazie
Quale secondo limite?
Quello con $1/x^beta$
Ah sì, scusa, ho lasciato 1. Sorry! lo modifico!
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