Un cantor particolare...
dire qual è la misura di lebesgue associata a tutti i numeri reali compresi in [0,1] che nel loro sviluppo decimale non hanno la cifra 7. stabilirne anche la cardinalità e meditare...[;)]
Risposte
nessuno ha voglia di cimentarsi?
Potrebbe essere una cosa di questo tipo: ho scritto [0,1] come unione numerabile di insiemi che ho chiamato:
1)C_0=insieme degli x con nessuna cifra pari a 7.
2)C_1^1=insieme degli x che hanno come prima cifra 7.
3)C_2^1=insieme degli x che hanno come seconda cifra 7.
...
...)C_n^1=insieme degli x che hanno come n-esima cifra 7.
Poi abbiamo C_(1,1)^2=insieme degli x che hanno 2 cifre pari a 7, e piu' precisamente le prime due.
C_(n,m)^2=insieme degli x che hanno 2 cifre paria 7, e piu' precisamente la n-esima e la m-esima.
E cosi' via.
Poi si calcolano le lunghezze dei vari insiemi costruiti, rispetto alla lunghezza di C_0.
Ad esempio, se considero la funzione L da C_1^1 a C_0 che manda x in 10x-7, allora Im(L)=C_0.
Per le proprietà della misura di Lebesgue (che indico con |)e' vero che |Im(L)|=10|C_1^1|, da cui
|C_1^1|=|C_0|/10.
In modo analogo dovrebbero trovarsi tutte le altre, solo in funzione di |C_0|, e alla fine dovrebbe trovarsi la misura di C_0, impostando l'unione numerabile disgiunta data.
So che e' una strada un po' laboriosa, ma mi pare di non vedere molte alternativa, a meno di un trucco che in questo momento non vedo. Prova a seguire questa.
Luca.
1)C_0=insieme degli x con nessuna cifra pari a 7.
2)C_1^1=insieme degli x che hanno come prima cifra 7.
3)C_2^1=insieme degli x che hanno come seconda cifra 7.
...
...)C_n^1=insieme degli x che hanno come n-esima cifra 7.
Poi abbiamo C_(1,1)^2=insieme degli x che hanno 2 cifre pari a 7, e piu' precisamente le prime due.
C_(n,m)^2=insieme degli x che hanno 2 cifre paria 7, e piu' precisamente la n-esima e la m-esima.
E cosi' via.
Poi si calcolano le lunghezze dei vari insiemi costruiti, rispetto alla lunghezza di C_0.
Ad esempio, se considero la funzione L da C_1^1 a C_0 che manda x in 10x-7, allora Im(L)=C_0.
Per le proprietà della misura di Lebesgue (che indico con |)e' vero che |Im(L)|=10|C_1^1|, da cui
|C_1^1|=|C_0|/10.
In modo analogo dovrebbero trovarsi tutte le altre, solo in funzione di |C_0|, e alla fine dovrebbe trovarsi la misura di C_0, impostando l'unione numerabile disgiunta data.
So che e' una strada un po' laboriosa, ma mi pare di non vedere molte alternativa, a meno di un trucco che in questo momento non vedo. Prova a seguire questa.
Luca.
se nessun altro ha voglia di postare soluzioni, vi dico la mia strada, che nella sostanza è simile a quella di luca ma è più semplice da capire.
il titolo era un aiuto, nel senso che se visualizzo una linea che per me è l'intervallo [0,1], posso togliere in successione pezzetti e vedere cosa rimane.
per prima cosa tolgo l'intervallo [0.7,0.8) di misura 1/10 che corrisponde ai numeri con il 7 come prima cifra
poi tolgo gli intervallini [0.07,0.08) [0.17,0.18)... (tranne quello [0.77,0.78) che ho già tolto prima). questi sono 9 di lunghezza 1/100, quindi tolgo 9/100
poi tolgo [0.007,0.008), [0.017,0.018) ecc ecc che sono 81 di lunghezza 1/1000, quindi 81/1000
in pratica rimane 1-[8]9^n/10^n+1 con n da 0 a 00.
quindi rimane 1-1/10*[8](9/10)^n
che risolvo facilmente e dico che rimane 1-1/10*(10)=1-1=0.
cioè la misura dei reali tra 0 e 1 che non hanno la cifra 7 è zero, pur essendo essi una quantità non numerabile...
lo stesso ragionamento si applica al "ternario" o "polvere" di cantor...
il titolo era un aiuto, nel senso che se visualizzo una linea che per me è l'intervallo [0,1], posso togliere in successione pezzetti e vedere cosa rimane.
per prima cosa tolgo l'intervallo [0.7,0.8) di misura 1/10 che corrisponde ai numeri con il 7 come prima cifra
poi tolgo gli intervallini [0.07,0.08) [0.17,0.18)... (tranne quello [0.77,0.78) che ho già tolto prima). questi sono 9 di lunghezza 1/100, quindi tolgo 9/100
poi tolgo [0.007,0.008), [0.017,0.018) ecc ecc che sono 81 di lunghezza 1/1000, quindi 81/1000
in pratica rimane 1-[8]9^n/10^n+1 con n da 0 a 00.
quindi rimane 1-1/10*[8](9/10)^n
che risolvo facilmente e dico che rimane 1-1/10*(10)=1-1=0.
cioè la misura dei reali tra 0 e 1 che non hanno la cifra 7 è zero, pur essendo essi una quantità non numerabile...
lo stesso ragionamento si applica al "ternario" o "polvere" di cantor...
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