UN BEL LIMITUZZO
$lim_(n->oo)((2/n)sum_(k=1)^(n)exp((2k)/n - 1))$
C'é qualcuno che sappia risolverlo? (... e magari spiegare i passaggi e/o ragionamenti...)
Grazie 1000!!!
C'é qualcuno che sappia risolverlo? (... e magari spiegare i passaggi e/o ragionamenti...)
Grazie 1000!!!
Risposte
"Giova411":
$lim_(n->oo)((2/n)sum_(k=1)^(n)exp((2k)/n - 1))$
C'é qualcuno che sappia risolverlo? (... e magari spiegare i passaggi e/o ragionamenti...)
Grazie 1000!!!
Ciao Nicasamarciano!
Al prof. (che ha messo la sol ma non lo svolgimento...) viene:
$int_(-1)^1$$e^x dx$$=$$e-1/e$
Al prof. (che ha messo la sol ma non lo svolgimento...) viene:
$int_(-1)^1$$e^x dx$$=$$e-1/e$
"nicasamarciano":[/quote]
[quote="Giova411"]$lim_(n->oo)((2/n)sum_(k=1)^(n)exp((2k)/n - 1))$
C'é qualcuno che sappia risolverlo? (... e magari spiegare i passaggi e/o ragionamenti...)
Grazie 1000!!!
"Giova411":
Ciao Nicasamarciano!
Al prof. (che ha messo la sol ma non lo svolgimento...) viene:
$int_(-1)^1$$e^x dx$$=$$e-1/e$
Scusami avevo letto male la traccia: quello da me svolto lo si ha quando la sommatoria si estende fino ad $infty$, perciò ho cancellato la soluzione.
Questa è la soluzione giusta:in tal caso innanzitutto
$sum_(k=1)^(n)exp((2k)/n - 1)=e^(-1)*sum_(k=1)^(n)exp((2k)/n )=e^(-1)*(sum_(k=0)^(n)exp((2k)/n )-1)=e^(-1)*((1-e^((2/n)*(n+1)))/(1-e^(2/n))-1)=e^(-1)*(e^(2/n)-e^(2+2/n))/(1-e^(2/n))=e^(-1)*((e^(2/n)*(1-e^2))/(1-e^(2/n)))$
Ora il limite diventa
$lim_(n->oo)(2/n)*e^(-1)*((e^(2/n)*(1-e^2))/(1-e^(2/n)))=e^(-1)*(1-e^2)*lim_(n->oo)(2/n)*(e^(2/n)/(1-e^(2/n)))$
Ora fai la sostituzione $1/n=x$ $->$ se $n->infty,x->0$ per cui
$e^(-1)*(1-e^2)*lim_(n->oo)(2/n)*(e^(2/n)/(1-e^(2/n)))=e^(-1)*(1-e^2)*lim_(x->0)(2x)*(e^(2x)/(1-e^(2x)))=e^(-1)*(1-e^2)*lim_(x->0)e^(2x)/((1-e^(2x))/(2x))$=
$-e^(-1)*(1-e^2)*lim_(x->0)e^(2x)/((e^(2x)-1)/(2x))=-e^(-1)*(1-e^2)=e-e^(-1)=e-1/e$ poichè per $x->0,e^(2x)->1$ e poichè per il limite notevole
$lim_(x->0)(e^(2x)-1)/(2x)=1$
??
a me viene $1-1/e$...grrrr
a me viene $1-1/e$...grrrr
Ma quindi la soluzione del prof è sbagliata?
Che si fo?
Io cmq non sapevo da dove iniziare... ora qualcosina ci capisco ma non tutto...
Che si fo?
Io cmq non sapevo da dove iniziare... ora qualcosina ci capisco ma non tutto...
"Giova411":
Ma quindi la soluzione del prof è sbagliata?
Che si fo?
Io cmq non sapevo da dove iniziare... ora qualcosina ci capisco ma non tutto...
te l'ho svolto di nuovo (avevo capito male la traccia inizialmente) ed il risultato mio è come quello del prof., ci arrivo in altro modo ma il risultato ovviamente è quello
Ah Ok... Ingegné scusami ma sono ancora un principiante (per non dire ignorantone!!!)
Ora mi metto e cerco di capire il tutto!!!
(Diciamo pure che ci metterò un mesetto... ma ce la farò!)
Mille e mille tanks!!!
Ora mi metto e cerco di capire il tutto!!!
(Diciamo pure che ci metterò un mesetto... ma ce la farò!)
Mille e mille tanks!!!
"Giova411":
Ah Ok... Ingegné scusami ma sono ancora un principiante (per non dire ignorantone!!!)
Ora mi metto e cerco di capire il tutto!!!
(Diciamo pure che ci metterò un mesetto... ma ce la farò!)
Mille e mille tanks!!!
la mia soluzione si basa sul noto risultato sulle serie per cui
$sum_{k=0}^{n)a^k=(1-a^(n+1))/(1-a)$
tenendo conto di tale risultato poi tutto è semplicissimo. Nota che nel tuo caso la serie parte da $k=1$. io l'ho fatta partire da $k=0$ ed ovviamente ho tolto il termine corrispondente a $k=0$.ecco per cui ho scritto
$sum_{k=1}^{n)e^((2k)/n)=(sum_{k=0}^{n)e^((2k)/n)-1)$
Ecco, si, ma la serie da cui sei partito poi l'adegui alla richiesta di k=1?
"Giova411":
Ecco, si, ma la serie da cui sei partito poi l'adegui alla richiesta di k=1?
certo. infatti come detto nel post precedente
$sum_{k=1}^{n)e^((2k)/n)=(sum_{k=0}^{n)e^((2k)/n)-1)$, cioè faccio partire la serie da $k=0$ ma ci tolgo pure il termine corrispondente a $k=0$. Infatti il termine corrispondente a $k=0$ è $e^(2k/n)|_(k=0)=1$ che ho tolto, come noterai c'è il $-1$
SEI UN GENIO!
Grazie!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Grazie!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Seguo la traccia del prof.
Si divida l'intervallo [0,2] in n intervalli di eguale ampiezza
$delta_k=2/n$ e siano essi:
$[0,2/n],[2/n,2*2/n],[2*2/n,3*2/n],...,[(n-1)*2/n,n*2/n]$
Si consideri poi la funzione $f(x)=e^(x-1)$
Essa e' strettamente crescente in [0,2] ( come in tutto R) e quindi,
in ciascuno degli intervalli di cui prima,assume il suo massimo valore
$M_k$ nell'estremo superiore di ciascuno di essi:
$M_k=e^(k*2/n-1)$
Con queste posizioni il limite L richiesto diventa:
$L=lim_(n->oo)sum_(k=1)^n(2/n*e^(k*2/n-1))=lim_(delta_k->0)sum(delta_k*M_k)$
Tale limite,come e' noto,e' l'integrale di f(x) esteso all'intervallo
[0,2] e dunque:
$L=int_0^2e^(x-1)dx=e-1/e$
Se si vuole ,con la sostituzione x-1=t,ci si puo' ricondurre
alla forma $int_(-1)^(+1)e^tdt$ che e' quella indicata dal prof.
karl
Si divida l'intervallo [0,2] in n intervalli di eguale ampiezza
$delta_k=2/n$ e siano essi:
$[0,2/n],[2/n,2*2/n],[2*2/n,3*2/n],...,[(n-1)*2/n,n*2/n]$
Si consideri poi la funzione $f(x)=e^(x-1)$
Essa e' strettamente crescente in [0,2] ( come in tutto R) e quindi,
in ciascuno degli intervalli di cui prima,assume il suo massimo valore
$M_k$ nell'estremo superiore di ciascuno di essi:
$M_k=e^(k*2/n-1)$
Con queste posizioni il limite L richiesto diventa:
$L=lim_(n->oo)sum_(k=1)^n(2/n*e^(k*2/n-1))=lim_(delta_k->0)sum(delta_k*M_k)$
Tale limite,come e' noto,e' l'integrale di f(x) esteso all'intervallo
[0,2] e dunque:
$L=int_0^2e^(x-1)dx=e-1/e$
Se si vuole ,con la sostituzione x-1=t,ci si puo' ricondurre
alla forma $int_(-1)^(+1)e^tdt$ che e' quella indicata dal prof.
karl
Ecceziunalo verameeente!
Grazie!
Grazie!
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