Un Asintoto classico.
Premetto che sono contentissimo di aver trovato un forum del genere... è circa due mesi che lo cercavo 
Ora per lo meno ho un posto dove disperarmi in tutta tranquillità.
Allora sono uno dei tanti matti che si è iscritto ad Ingegneria Informatica e sto alle prese con l'esame di Analisi 1 (che per inciso ho sabato 3 ma visto come stanno le cose andrà male e ritento per il 17) ora la mia situazione è un po' strana nel senso che la teoria l'ho finita tutta, ma poi al momento di quagliare non mi tornano i risultati degli esercizi più complessi (quelli degli appelli dello scorso anno per intenderci), quindi non è improbabile che nei prossimi giorni faccia numerosi post, anche con domande abbastanza banali... ma forse il mio problema è solo il fatto che non le conosco ste cosette banali.
Passando hai fatti è qualche giorno che tento di fare questi esercizi sugli asintoti che vengono sempre e solo in parte.
L'asintoto a $x -\infty$ di
$f(x) = (x^4 + x^3 + 4x^2) / (x^3+1) + sqrt (x^2 + 6x)$
Allora come prima cosa so che per calcolare un asintoto (in questo caso verticale o obliqui) devo:
$k =Lim_{x\to-\infty} f(x) / x$
quindi
$b= Lim_{x\to-\infty} f(x) - kx$
ed infine ho il mio asintoto che è
$ y = kx - b$
Bene ora andando a calcolare sulla funzione del mio esercizio ho:
$ k = Lim_{x\to-\infty} ((x^4 + x^3 + 4x^2) / (x^3+1) + sqrt (x^2 + 6x)) / x$
che una volta eseguita la divisione diventa:
$ Lim_{x\to-\infty} (x^4 + x^3 + 4x^2) / (x^4+x) + (sqrt (x^2 + 6x)) / x$
Ok... ora andando a fare il limite per trovare k:
$ Lim_{x\to-\infty} (x^4(1 +1/x + o(x)))/(x^4(1+o(x))) + (sqrt (x^2(1+o(x)))) / x$
$Lim_{x\to-\infty} 1 + x/x = 2$
Anche se qui ho già qualche dubbio, nel senso dato che sto facendo il limite da $-prop$ $x/x = -1$???
Quindi in questo caso il mio limite varrebbe $0$ e non $2$... giusto o ho detto una stupidagine?
ma comunque calcolando
$b = Lim_{x\to-\infty} (x^4 + x^3 + 4x^2) / (x^3+1) + (sqrt (x^2 + 6x)) - kx$
$Lim_{x\to-\infty} (x^4(1 + 1/x + o(x)))/(x^3(1 + o(x))) + x - kx$
$Lim_{x\to-\infty} (x(1+1/x)) + x - kx$
$Lim_{x\to-\infty} (x((x+1)/x)) + x - kx$
$Lim_{x\to-\infty} x + 1 + x - kx$
$Lim_{x\to-\infty} 2x + 1 - kx$
che comunque in entrambi i casi non viene nel senso se $kx = 2x$ abbiamo che il limite vale $+1$ e che l'asintoto $y = kx + b = 2x + 1$ cosa che non è vera perché la risposta corretta è $y = -2$... qualcuno sa dirmi dove è che sbaglio? Sieti liberissimi anche di insultarmi in maniera pesante
P.S.: Spero di aver formattato bene le formule matematiche
Ciao
Iacopo
C'
Ora per lo meno ho un posto dove disperarmi in tutta tranquillità.
Allora sono uno dei tanti matti che si è iscritto ad Ingegneria Informatica e sto alle prese con l'esame di Analisi 1 (che per inciso ho sabato 3 ma visto come stanno le cose andrà male e ritento per il 17) ora la mia situazione è un po' strana nel senso che la teoria l'ho finita tutta, ma poi al momento di quagliare non mi tornano i risultati degli esercizi più complessi (quelli degli appelli dello scorso anno per intenderci), quindi non è improbabile che nei prossimi giorni faccia numerosi post, anche con domande abbastanza banali... ma forse il mio problema è solo il fatto che non le conosco ste cosette banali.
Passando hai fatti è qualche giorno che tento di fare questi esercizi sugli asintoti che vengono sempre e solo in parte.
L'asintoto a $x -\infty$ di
$f(x) = (x^4 + x^3 + 4x^2) / (x^3+1) + sqrt (x^2 + 6x)$
Allora come prima cosa so che per calcolare un asintoto (in questo caso verticale o obliqui) devo:
$k =Lim_{x\to-\infty} f(x) / x$
quindi
$b= Lim_{x\to-\infty} f(x) - kx$
ed infine ho il mio asintoto che è
$ y = kx - b$
Bene ora andando a calcolare sulla funzione del mio esercizio ho:
$ k = Lim_{x\to-\infty} ((x^4 + x^3 + 4x^2) / (x^3+1) + sqrt (x^2 + 6x)) / x$
che una volta eseguita la divisione diventa:
$ Lim_{x\to-\infty} (x^4 + x^3 + 4x^2) / (x^4+x) + (sqrt (x^2 + 6x)) / x$
Ok... ora andando a fare il limite per trovare k:
$ Lim_{x\to-\infty} (x^4(1 +1/x + o(x)))/(x^4(1+o(x))) + (sqrt (x^2(1+o(x)))) / x$
$Lim_{x\to-\infty} 1 + x/x = 2$
Anche se qui ho già qualche dubbio, nel senso dato che sto facendo il limite da $-prop$ $x/x = -1$???
Quindi in questo caso il mio limite varrebbe $0$ e non $2$... giusto o ho detto una stupidagine?
ma comunque calcolando
$b = Lim_{x\to-\infty} (x^4 + x^3 + 4x^2) / (x^3+1) + (sqrt (x^2 + 6x)) - kx$
$Lim_{x\to-\infty} (x^4(1 + 1/x + o(x)))/(x^3(1 + o(x))) + x - kx$
$Lim_{x\to-\infty} (x(1+1/x)) + x - kx$
$Lim_{x\to-\infty} (x((x+1)/x)) + x - kx$
$Lim_{x\to-\infty} x + 1 + x - kx$
$Lim_{x\to-\infty} 2x + 1 - kx$
che comunque in entrambi i casi non viene nel senso se $kx = 2x$ abbiamo che il limite vale $+1$ e che l'asintoto $y = kx + b = 2x + 1$ cosa che non è vera perché la risposta corretta è $y = -2$... qualcuno sa dirmi dove è che sbaglio? Sieti liberissimi anche di insultarmi in maniera pesante
P.S.: Spero di aver formattato bene le formule matematiche
Ciao
Iacopo
C'
Risposte
Il primo errore sta nel fatto che $sqrt{x^2+6x}\approx|x|\ne x$ quindi poi hai $1+{|x|}/x$ che per $x\to -\infty$ è $=1-1=0$.
Il tuo coefficiente angolare sarebbe quindi zero.
Il fatto è che non hai bisogno di calcolare l'asintoto obliquo ma ti bastava trovare quello orizzontale..
Se fai il limite di f(x) vedi che viene -2
Il tuo coefficiente angolare sarebbe quindi zero.
Il fatto è che non hai bisogno di calcolare l'asintoto obliquo ma ti bastava trovare quello orizzontale..
Se fai il limite di f(x) vedi che viene -2
Poiche' $sqrt(x^2)=|x|$ ,nel calcolo di k l'ultimo passaggio va scritto cosi':
$lim_{x\to-\infty}(1+|x|/x)=lim_{x\to-\infty}(1-x/x)=0$
Per avere b si puo' ricordare che ,essendo $sqrt(x^2+6x)=|x|sqrt(1+6/x)$,si ha:
$b=lim_{x\to-\infty}((x^4+x^3+4x^3)/(x^3+1)+|x|sqrt(1+6/x))$
Sviluppando in serie di Taylor (fino al secondo termine) $sqrt(1+6/x)$
si ottiene :
$b=lim_{x\to-\infty}((x^4+x^3+4x^3)/(x^3+1)-x(1+3/x))$
Ovvero:
$b=lim_{x\to-\infty}((x^4+x^3+4x^3)/(x^3+1)-x-3)=-2$
Pertanto si conclude che esiste l'asintoto orizzontale (nella direzione negativa
dell'asse x) ed ha equazione y=-2
[Ho omesso qualche o(x)]
Archimede
$lim_{x\to-\infty}(1+|x|/x)=lim_{x\to-\infty}(1-x/x)=0$
Per avere b si puo' ricordare che ,essendo $sqrt(x^2+6x)=|x|sqrt(1+6/x)$,si ha:
$b=lim_{x\to-\infty}((x^4+x^3+4x^3)/(x^3+1)+|x|sqrt(1+6/x))$
Sviluppando in serie di Taylor (fino al secondo termine) $sqrt(1+6/x)$
si ottiene :
$b=lim_{x\to-\infty}((x^4+x^3+4x^3)/(x^3+1)-x(1+3/x))$
Ovvero:
$b=lim_{x\to-\infty}((x^4+x^3+4x^3)/(x^3+1)-x-3)=-2$
Pertanto si conclude che esiste l'asintoto orizzontale (nella direzione negativa
dell'asse x) ed ha equazione y=-2
[Ho omesso qualche o(x)]
Archimede
Allora innanzitutto grazie... e anzi scusatemi se sono stato poco attivo, nel senso che ho messo una postata stamattina e poi sono sparito, ma con il casino che è successo oggi... vabbé cambiando discorso fino ad adesso ho capito una cosa i "problemi" ci sono quando nel calcolo di k tiravo fuori da sotto radice...
$ Lim_{x\to-\infty} (x^4(1 +1/x + o(x)))/(x^4(1+o(x))) + (sqrt (x^2(1+o(x)))) / x$
$lim_{x\to-\infty}(1+|x|/x)=lim_{x\to-\infty}(1-x/x)=0$
e fin qui tutto ok ho capito tutto, ma allora come mai per il calcolo di $b$ devo fare lo sviluppo di taylor?
Nel senso arrivati a questo punto:
$b=lim_{x\to-\infty}(x+1)+|x|sqrt(1+6/x)$
Come mai non posso tralasciare quello che sta sotto radice come ho fatto per k?
Poi altra cosa... lo sviluppo di $sqrt(1+6/x)$ al secondo ordine è $(1+3/x)$
Perché allora non riesco a calcolarmi neanche quello?
L'importante ora è capire come mai non posso tralasciare $sqrt(1+6/x)$
Ciao
Iacopo
$ Lim_{x\to-\infty} (x^4(1 +1/x + o(x)))/(x^4(1+o(x))) + (sqrt (x^2(1+o(x)))) / x$
$lim_{x\to-\infty}(1+|x|/x)=lim_{x\to-\infty}(1-x/x)=0$
e fin qui tutto ok ho capito tutto, ma allora come mai per il calcolo di $b$ devo fare lo sviluppo di taylor?
Nel senso arrivati a questo punto:
$b=lim_{x\to-\infty}(x+1)+|x|sqrt(1+6/x)$
Come mai non posso tralasciare quello che sta sotto radice come ho fatto per k?
Poi altra cosa... lo sviluppo di $sqrt(1+6/x)$ al secondo ordine è $(1+3/x)$
Perché allora non riesco a calcolarmi neanche quello?
L'importante ora è capire come mai non posso tralasciare $sqrt(1+6/x)$
Ciao
Iacopo
1)Non e' possibile trascurare 1/x per la presenza del fattore |x|=-x fuori della radice
e che tende a diventare grande per x-->-inf.Per capirci meglio se si approssima,come e'
possibile,la radice con un'espressione del tipo a+b/x e allora risulta |x|*(a+b/x)=
=-x(a+b/x)=-ax-b.Come si vede compare un termine -b che e' il contributo dovuto
al compenso che si verifica tra la grandezza di -x e la piccolezza di 1/x.
2) Volendo si puo' ricordare che per 1/x sufficientemente piccolo (come e' il nostro
caso) si puo' scrivere $(1+b/x)^n~= 1+nb/x$.Nel nostro caso e':
$(1+6/x)^(1/2)~= 1+1/2*6/x=1+3/x$
Comunque questo ragionamento e' del tutto equivalente all'uso di Taylor.
Archimede.
e che tende a diventare grande per x-->-inf.Per capirci meglio se si approssima,come e'
possibile,la radice con un'espressione del tipo a+b/x e allora risulta |x|*(a+b/x)=
=-x(a+b/x)=-ax-b.Come si vede compare un termine -b che e' il contributo dovuto
al compenso che si verifica tra la grandezza di -x e la piccolezza di 1/x.
2) Volendo si puo' ricordare che per 1/x sufficientemente piccolo (come e' il nostro
caso) si puo' scrivere $(1+b/x)^n~= 1+nb/x$.Nel nostro caso e':
$(1+6/x)^(1/2)~= 1+1/2*6/x=1+3/x$
Comunque questo ragionamento e' del tutto equivalente all'uso di Taylor.
Archimede.
Ok si lo ammetto, non è ancora del tutto chiaro, ma ora mi stampo questa discussione, attacco al lavoro e domani mattina ci smadonno un altro pochino e se ancora non ho capito... riposto
Grazie
Iacopo
Grazie
Iacopo
Jeko, se sei al polimi, in che scaglione sei? perchè magari sei in corso conun mio amico.
No no sono di Roma e sto all'università di Tor Vergata... nel nulla
Perdonatemi ancora (questa volta doppiamente perche' non poso controllare se ho scritto bene il codice delle funzioni)
Ho capito benissimo come mai quando si calcola $b$ viene $-2$ e soprattuto, sono riuscito a svilupparmi $(1+6/x)^(1/2)~= 1+1/2*6/x=1+3/x$, quello che ora mi rimane ostico capire come mai nel calcolo di $k$ puo' essere omessa questa procedura.
Io e' un po' che ci sto combattendo e mi sono fatto questa idea:
$ Lim_{x\to-\infty} (x^4 + x^3 + 4x^2) / (x^4+x) + (sqrt (x^2 + 6x)) /x $
e sviluppandolo e semplificando tutto si arriva a questa conclusione:
$ Lim_{x\to-\infty} 1 + 1/x - (|x| sqrt(1+6/x)) $
e che quindi al primo mebro avremmo una forma di $1 + 1/(-\infty)$ quindi $1 + 0 = 1$ e al secondo membro avremo la stessa cosa, ovvero:
$ (-x(1 + 3/x))/x = -1 + 3/x = -1 + 0 = -1$
Questo per lo meno e' quello che ho capito... c'e' qualcuno che mi potrebbe confermare che ho fatto un ragionamento corretto... almeno per questa volta??
Ciao
Iacopo
Ho capito benissimo come mai quando si calcola $b$ viene $-2$ e soprattuto, sono riuscito a svilupparmi $(1+6/x)^(1/2)~= 1+1/2*6/x=1+3/x$, quello che ora mi rimane ostico capire come mai nel calcolo di $k$ puo' essere omessa questa procedura.
Io e' un po' che ci sto combattendo e mi sono fatto questa idea:
$ Lim_{x\to-\infty} (x^4 + x^3 + 4x^2) / (x^4+x) + (sqrt (x^2 + 6x)) /x $
e sviluppandolo e semplificando tutto si arriva a questa conclusione:
$ Lim_{x\to-\infty} 1 + 1/x - (|x| sqrt(1+6/x)) $
e che quindi al primo mebro avremmo una forma di $1 + 1/(-\infty)$ quindi $1 + 0 = 1$ e al secondo membro avremo la stessa cosa, ovvero:
$ (-x(1 + 3/x))/x = -1 + 3/x = -1 + 0 = -1$
Questo per lo meno e' quello che ho capito... c'e' qualcuno che mi potrebbe confermare che ho fatto un ragionamento corretto... almeno per questa volta??
Ciao
Iacopo
"JeKO":
No no sono di Roma e sto all'università di Tor Vergata... nel nulla
Ohi! Anche tu a Tor Vergata! Io sto a Modelli!
O meglio, sono in attesa che si completi la pratica di trasferimento da Matematica a Modelli!
Dato che non mi va di leggere tutto il topic, mi spieghi cosa sono b, k?
Cosa è che ti serve di questo limite in modo particolare?
Hmm dato che sono una capra, non mi tornavano i conti con il calcolo di questo asintoto... il limite niente ora pare che abbia capito come si fa e volevo una conferma che oggi pomeriggio ho avuto facendo un po' di esercizi e ragionando allo stesso modo... pare che vengono tutti e bene.
Tanto più tardi devo fare un po' per un altra cosa.
Tanto più tardi devo fare un po' per un altra cosa.
"fireball":
[quote="JeKO"]No no sono di Roma e sto all'università di Tor Vergata... nel nulla
Ohi! Anche tu a Tor Vergata! Io sto a Modelli!
O meglio, sono in attesa che si completi la pratica di trasferimento da Matematica a Modelli!
Dato che non mi va di leggere tutto il topic, mi spieghi cosa sono b, k?
Cosa è che ti serve di questo limite in modo particolare?[/quote]
E quando hai un po' di tempo dammi un po' di ripetizioni no?
Salve ragazzi, metto un altro post qui perché ho ancora qualche problema con quel maledetto sviluppo:
Sia allora $(1 + b/x)^2 = (1 + n(b/x))$ ho avuto questo problemino quando mi sono trovato davanti a questa situazione
$sqrt(4+6/x) = (4+6/x)^(1/2)$ che sviluppato diventa $(sqrt(4) + (1/2)*(6/x))$ che sviluppato diventa $(2 + 3/x)$, Bene io ho dei forti dubbi sulla radice quadrata di 4... è coretto applicarla lì ed in questo modo?
Voglio solo una conferma vi prego mandatemi stasera a dormire tranquillo.
ciao
Sia allora $(1 + b/x)^2 = (1 + n(b/x))$ ho avuto questo problemino quando mi sono trovato davanti a questa situazione
$sqrt(4+6/x) = (4+6/x)^(1/2)$ che sviluppato diventa $(sqrt(4) + (1/2)*(6/x))$ che sviluppato diventa $(2 + 3/x)$, Bene io ho dei forti dubbi sulla radice quadrata di 4... è coretto applicarla lì ed in questo modo?
Voglio solo una conferma vi prego mandatemi stasera a dormire tranquillo.
ciao
Lo sviluppo diventa:
$sqrt(4 + 6/x) = 2*sqrt(1 + 3/(2x)) = 2*(1 + 3/(2x))^(1/2) = 2* (1 + 3/(4x))=2 + 3/(2x)$
$sqrt(4 + 6/x) = 2*sqrt(1 + 3/(2x)) = 2*(1 + 3/(2x))^(1/2) = 2* (1 + 3/(4x))=2 + 3/(2x)$
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