Un altro integrale di volume
Mi si chiede il volume del seguente dominio:
$A = { ( x, y, z ) | z ≤ 5 − x^2 − y^2 , 2 ≤ z ≤ 4 }$
Ho pensato di integrare per strati paralleli al piano xy, ho cambiato le variabili in polari trovando come estremi $0<\rho<=-z+5$ e $0<\theta<=2pi$.Per z invece è facile, varia da 2 a 4
Ho quindi integrato: $\int_2^4\int_0^(2pi)\int_0^(-z+5) (\rho)d\rho d\theta dz=26/3pi$
con rho jacobiano del cambiamento di coordinate
Ma la soluzione dovrebbe essere $4pi$
$A = { ( x, y, z ) | z ≤ 5 − x^2 − y^2 , 2 ≤ z ≤ 4 }$
Ho pensato di integrare per strati paralleli al piano xy, ho cambiato le variabili in polari trovando come estremi $0<\rho<=-z+5$ e $0<\theta<=2pi$.Per z invece è facile, varia da 2 a 4
Ho quindi integrato: $\int_2^4\int_0^(2pi)\int_0^(-z+5) (\rho)d\rho d\theta dz=26/3pi$
con rho jacobiano del cambiamento di coordinate
Ma la soluzione dovrebbe essere $4pi$
Risposte
Scusa,ma se hai cambiato in coordinate cilindriche non dovrebbe essere $\rho^2<=5-z$ invece di $\rho<=5-x$?
Grazie a entrambi.
@TeM: grazie per avermi risposto anche qui. Molto utile l'arguzia, non ci avevo pensato!
Ovviamente errore scovato, sono una stupida
@TeM: grazie per avermi risposto anche qui. Molto utile l'arguzia, non ci avevo pensato!
Ovviamente errore scovato, sono una stupida
Ho letto l'interessante link!
Comunque credo il mio problema sian questi sistemi per i domini, ad esempio qui ho provato tutte le strategie, ma non capisco proprio come portare a soluzione il sistema che ne esce, riesco in parte solo graficamente.
$D={ ( x, y, z ):0 ≤ z ≤ sqrt(x^2 + y^2) , x^2 + y^2 ≤ 2 x, |y|≤ x }$
Graficamente ho completato il quadrato e trovo una circonferenza traslata sulle x sdi centro 1 e raggio 1, e mi sembra dovrebbe tornare cambiando poi in polari.
Tuttavia graficamente non mi torna la z perché è un cono (nelle z positive) però non mi sembra vada da 0 a sqrt(x^2 + y^2) , perché in teoria il "filo di integrazione lungo z" dovrebbe "entrare nell'equazione del cono ed esce dalla base di esso" e l'equazione in cui "entra" non può essere 0.
Alcuni domini li capisco, altri proprio buoio totale
Comunque credo il mio problema sian questi sistemi per i domini, ad esempio qui ho provato tutte le strategie, ma non capisco proprio come portare a soluzione il sistema che ne esce, riesco in parte solo graficamente.
$D={ ( x, y, z ):0 ≤ z ≤ sqrt(x^2 + y^2) , x^2 + y^2 ≤ 2 x, |y|≤ x }$
Graficamente ho completato il quadrato e trovo una circonferenza traslata sulle x sdi centro 1 e raggio 1, e mi sembra dovrebbe tornare cambiando poi in polari.
Tuttavia graficamente non mi torna la z perché è un cono (nelle z positive) però non mi sembra vada da 0 a sqrt(x^2 + y^2) , perché in teoria il "filo di integrazione lungo z" dovrebbe "entrare nell'equazione del cono ed esce dalla base di esso" e l'equazione in cui "entra" non può essere 0.
Alcuni domini li capisco, altri proprio buoio totale
Mi hai convinta, è sempre possibile risolvere quei sistemi... grosso problema che non riesco mai 
Bene, devo mettermi sotto a farne.
Grazie per le dirette e per la sopportazione
Buona serata a te
Bene, devo mettermi sotto a farne.
Grazie per le dirette e per la sopportazione
Buona serata a te
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