Un aiuto su esercizio funzione implicita

[il_carter]

Mi crea diversi dubbi questo esercizio

Sia $f(x, y, z) = z^2$ Dimostrare che $f^(-1)(0)$ è una superficie, nonostante il fatto che i suoi punti non siano regolari per f.

1) io ho pensato di calcolarmi il punti di $f^-1$: (x,y,0) e di farmi il gradiente $∇f=⟨0,0,2z⟩$, quindi per z=0 sono non regolari, i restanti sarebbero regolari. tuttavia essendo la controimmagine di zero (x,y,0) direi che non ho punti regolari, tutti sono non regolari.

Tuttavia (x,y,0) è un piano e quindi è una superficie, è paraemtrizzabile.

Potrebbe andare come soluzione? Che ne pensate?

2) Però ora ho un dubbio: io so che c'è un teorema[nota]purtroppo non dimostrato e citato di sfuggita[/nota] che afferma che ogni superficie parametrizzabile è localmente data da un grafico di funzione data da quella implicita. nel senso che si può scrivere come grafico di funzione implicita.
E quindi qualcosa non mi torna, questo esercizio non contraddirebbe quel teorema? è superficie e non ho una funzione che abbia punti regolari che possano andar bene per dini. Qualcosa non mi quadra.

[gugo82]

1) Ok.

2) La funzione che il cui grafico coincide con la superficie è quella identicamente nulla.
Non c'è alcuna contraddizione, perché il primo membro dell'equazione $z^2 = 0$ (che è l'equazione del piano) non ha derivata non nulla rispetto a $z$, quindi non soddisfa tutte le ipotesi del teorema.

[il_carter]

Ti ringrazio per l'aiuto innanziutto.

2) c'è una cosa che credo di aver spiegato male, ovviamente come dici tu NON soddisfa dini, ma quello che mi turba è che a me pareva di aver capito che ogni superficie può essere scritta tramite dini (almeno localmente) quindi del tipo ${x,y,f(x,y)}$ ad esempio. Quello volevo dire, ma questa è una superificie che come abbiamo mostrato non può essere scritta tramite dini nemmeno localmente(proprio perché come rimarchi non ne soddifa l'ipotesi di regolarità).

E quindi non mi torna il teorema per cui ogni superficie è un qualche grafico di una funzione che rispetta dini.

non so se ho spiegato meglio quello che mi lascia perpleso.

[gugo82]

Certo, ma non sta scritto da nessuna parte che ogni equazione cartesiana di una superficie regolare soddisfa le ipotesi del Dini.

Infatti, le cose vanno così:

[*:1s7lildr] se le equazioni parametriche $\{(x = x(u,v)), (y = y(u,v)), (z = z(u,v)):}$ soddisfano la condizione di regolarità in un punto, allora la superficie ha localmente un'equazione cartesiana esplicita del tipo $z = f(x,y)$ o $y = g(x,z)$ oppure $x = h(y,z)$ (a seconda dei casi, i.e. di quale minore di $(partial (x,y,z))/(partial (u,v))$ è diverso da zero);

[/*:m:1s7lildr]
[*:1s7lildr] ogni equazione in forma implicita del tipo $F(x,y,z) = 0$ che soddisfa una condizione di regolarità in un punto individua una superficie regolare che si può rappresentare in forma esplicita del tipo $z = f(x,y)$ o $y = g(x,z)$ oppure $x = h(y,z)$ (a seconda dei casi, i.e. di quale derivata parziale di $F$ è diversa da zero)[/*:m:1s7lildr][/list:u:1s7lildr]

Quindi le condizioni di regolarità sono sufficienti, ma non necessarie (e l'esempio di $z^2 = 0$ lo dimostra), affinché le equazioni parametriche o implicite si possano esplicitare localmente rispetto ad una variabile cartesiana.

[il_carter]

Grazie!

Ho capito, devo aver preso una svista negli appunti, percui infatti avevo cercato in lungo e in largo una dimostrzione non trovandola da nessuna parte.

Ero convinto che ogni superficie parametrizzabile con una $phi:C->RR^3$ con C sottoinsieme di $RR^2$ derivasse almeno localmente da una scrittura tramite Dini, come funzione implicita e con punti regolari (appunto almeno localmente).

Questo controesempio risolve quel dubbio, perché come dici è un controesempio del fatto che non funzioni. Solo che ero talmente sicuro di quell'affermazione che pensavo di aver sbagliato esercizio più che il lato teorico