Un aiutino per partire.
$y'''' + 2y''' + 5y'' + 8y' + 4y = sen(2x)$
Magari se potete indicatemi di che forma mi conviene cercare le soluzioni (e perchè) e poi provo ad arrangiarmi...
Magari se potete indicatemi di che forma mi conviene cercare le soluzioni (e perchè) e poi provo ad arrangiarmi...
Risposte
se te lo scrivi come sistema di eq. dovrebbe essere facile...
però non ricordo bene queste cose...
però non ricordo bene queste cose...
Prima cosa devi cercare le soluzioni della equazione omogenea associata , il che vuol dire risolvere l'equazione caratteristica :
$lambda ^4+2lambda^3+5lambda^2+8lambda+4 = 0 $ che , tramite la regola di Ruffini si può fattorizzare,( Derive dà comodamente il risultato
) come :
$(lambda+1)^2(lambda^2+4) =0 $ che ha le seguenti radici :
$ lambda = -1 $ , radice doppia
$ lambda = 2i ; lambda = -2i $
Pertanto la soluzione generale della omogenea è :
$y(x) = C_1 e^-x +C_2xe^-x +C_3cos2x +C_4sin 2x $ ( ti è chiaro perchè appare $xe^-x ? )$.
Adesso si deve cercare una soluzione particolare della equazione non omogenea : la somma poi della soluzione generale della omogenea con la soluzione particolare della non omogenea dà la soluzione generale della equazione proposta.
Bisogna notare che il termine noto $ sin(2x) $ è uguale a una delle funzioni soluzioni della omogenea e quindi la ricerca della soluzione particolare è meno immediata : non potrà essere del tipo $Acos2x +Bsin2x $ ma un po' più elaborata....
Ho l'impressione che navighi un po' a vista (correggimi se sbaglio ) nella soluzione di queste equazioni.
Ti suggerisco di andare a leggere in questa pagina :
http://web.mate.polimi.it/viste/student ... namento=55
la dispensa : equadiff.pdf
$lambda ^4+2lambda^3+5lambda^2+8lambda+4 = 0 $ che , tramite la regola di Ruffini si può fattorizzare,( Derive dà comodamente il risultato
) come : $(lambda+1)^2(lambda^2+4) =0 $ che ha le seguenti radici :
$ lambda = -1 $ , radice doppia
$ lambda = 2i ; lambda = -2i $
Pertanto la soluzione generale della omogenea è :
$y(x) = C_1 e^-x +C_2xe^-x +C_3cos2x +C_4sin 2x $ ( ti è chiaro perchè appare $xe^-x ? )$.
Adesso si deve cercare una soluzione particolare della equazione non omogenea : la somma poi della soluzione generale della omogenea con la soluzione particolare della non omogenea dà la soluzione generale della equazione proposta.
Bisogna notare che il termine noto $ sin(2x) $ è uguale a una delle funzioni soluzioni della omogenea e quindi la ricerca della soluzione particolare è meno immediata : non potrà essere del tipo $Acos2x +Bsin2x $ ma un po' più elaborata....
Ho l'impressione che navighi un po' a vista (correggimi se sbaglio ) nella soluzione di queste equazioni.
Ti suggerisco di andare a leggere in questa pagina :
http://web.mate.polimi.it/viste/student ... namento=55
la dispensa : equadiff.pdf
Eh però con Derive so anch'io 
è a mano che diviene più ardua la faccenda. Quell'e alla x viene perchè per il quarto grado conviene cercare soluzioni con quella forma (non chiedermi perchè 
); sostituendo alla y nell'omogenea associata possiamo raccogliere l'e alla x e tra parentesi otteniamo l'espressione che tu hai risolto ponendola uguale a zero.
Per la dispensa si, probabilmente mi conviene leggermela. Il fatto è che l'argomento l'abbiamo fatto molto velocemente, e inoltre sono mancato alle ultime esercitazioni su quelle di grado superiore al primo...
Ti ringrazio, sei stato veramente disponibile finora
è a mano che diviene più ardua la faccenda. Quell'e alla x viene perchè per il quarto grado conviene cercare soluzioni con quella forma (non chiedermi perchè ); sostituendo alla y nell'omogenea associata possiamo raccogliere l'e alla x e tra parentesi otteniamo l'espressione che tu hai risolto ponendola uguale a zero.Per la dispensa si, probabilmente mi conviene leggermela. Il fatto è che l'argomento l'abbiamo fatto molto velocemente, e inoltre sono mancato alle ultime esercitazioni su quelle di grado superiore al primo...
Ti ringrazio, sei stato veramente disponibile finora
Va beh, in questo caso non era difficile neanche
scomporre a mano con Ruffini, infatti bastava
mettere -1 al posto di $lambda$ per vedere
che il polinomio caratteristico si annullava.
scomporre a mano con Ruffini, infatti bastava
mettere -1 al posto di $lambda$ per vedere
che il polinomio caratteristico si annullava.
"fireball":
Va beh, in questo caso non era difficile neanche
scomporre a mano con Ruffini, infatti bastava
mettere -1 al posto di $lambda$ per vedere
che il polinomio caratteristico si annullava.
In effetti... è che ieri sera ero un pò devastato
...
Lore, lo so che all'esame non puoi usare Derive .
per fattorizzare l'espressione di quarto grado si nota facilmente che $lambda = -1 $ è una radice e che quindi il polinomio è divisibile per $(lambda +1) $ con la regola di Ruffini ; poi ancora il polinomio di terzo grado è divisibile per $ (lambda+1) $ etc . Le possibili radici di un polinomio vanno cercate tra i divisori del termine noto : in questo caso tra : $ 1 , -1, 2, -2, 4, -4 $ .
La mia domanda non era relativa alla presenza nella soluzione di $ e^-x $ ma di $x*e^-x $. ; perchè c'è quel $ x $ in più ?
La ragione sta nella presenza di una radice doppia : $ lambda =-1 $ . E' chiaro allora che $y = C_1e-x +C_2 e^-x $ non va bene come soluzione in quanto le due funzioni sono linearmente dipendenti , l'una è proporzionale all'altra , e non possono costituire una base dello spazio delle soluzioni : bisigna che siano linearmente indipendenti.
Si può far vedere che anche la funzione $ xe^-x$ soddisfa la equazione omogenea ed è linearmente indipendente da $e^-x $ . E allora $y =C_1e^-x +C_2xe^-x $ gha tutti i requisiti richiesti per essere una base dello spazio delle soluzioni.
Se $ lambda = -1 $ fosse radice tripla allora la soluzione sarebbe : $ y(x) = C_1e^-x +C_2 xe^-x +C_3x^2e^-x $ .
Per la determinazione delle soluzioni particolari di una equazione lineare ti rimando a questa pagina :
http://web.mate.polimi.it/viste/student ... amento=375
e apri il documento : eqdifflin.pdf
una sola pagina , alla prima lettura forse un po' indigesta ma che contempla con chiarezza tutte le possibilità.
Una sorta di bigino ben fatto .
Che Facoltà fai e dove ?
.per fattorizzare l'espressione di quarto grado si nota facilmente che $lambda = -1 $ è una radice e che quindi il polinomio è divisibile per $(lambda +1) $ con la regola di Ruffini ; poi ancora il polinomio di terzo grado è divisibile per $ (lambda+1) $ etc . Le possibili radici di un polinomio vanno cercate tra i divisori del termine noto : in questo caso tra : $ 1 , -1, 2, -2, 4, -4 $ .
La mia domanda non era relativa alla presenza nella soluzione di $ e^-x $ ma di $x*e^-x $. ; perchè c'è quel $ x $ in più ?
La ragione sta nella presenza di una radice doppia : $ lambda =-1 $ . E' chiaro allora che $y = C_1e-x +C_2 e^-x $ non va bene come soluzione in quanto le due funzioni sono linearmente dipendenti , l'una è proporzionale all'altra , e non possono costituire una base dello spazio delle soluzioni : bisigna che siano linearmente indipendenti.
Si può far vedere che anche la funzione $ xe^-x$ soddisfa la equazione omogenea ed è linearmente indipendente da $e^-x $ . E allora $y =C_1e^-x +C_2xe^-x $ gha tutti i requisiti richiesti per essere una base dello spazio delle soluzioni.
Se $ lambda = -1 $ fosse radice tripla allora la soluzione sarebbe : $ y(x) = C_1e^-x +C_2 xe^-x +C_3x^2e^-x $ .
Per la determinazione delle soluzioni particolari di una equazione lineare ti rimando a questa pagina :
http://web.mate.polimi.it/viste/student ... amento=375
e apri il documento : eqdifflin.pdf
una sola pagina , alla prima lettura forse un po' indigesta ma che contempla con chiarezza tutte le possibilità.
Una sorta di bigino ben fatto .
Che Facoltà fai e dove ?
Ho capito, grazie...
Faccio Scienze informatiche, Università di Firenze.
Faccio Scienze informatiche, Università di Firenze.
P.S.: Ah ottima dritta quelle dispense, molto utili 
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