Un aiutino con un limite?

[eugenioenrico]

Ciao a tutti,
Studiando la funzione
$f(x)=(4x-3)*exp[arctg(2x)]$
Ho dovuto fare anche lo studio degli asintoti, e scoprendo che non ha ne quelli orizzontali ne quelli verticali,
Ho provato a vedere se esistono gli obliqui, quindi facendo
Lim f(x)/x per x->infinito
ho trovato che l'm della retta è
$m=4*e^(pi/2)$
ma provando a fare il limite all'infinito di f(x)-mx, per trovare la q della retta,
il risultato che ottengo è $3*e^(pi/2)$ , mentre sul file con le risposte dice che tende a $-5*e^(pi/2)$
Ho provato a usare anche wolfram alpha per la soluzione passo passo, ma non la fornisce...

Grazie mille in anticipo per la risposta!

[anto_zoolander]

Considera che c'è un asintoto anche a $-infty$ che è diverso..

comunque questo limite è carino, io l'ho risolto così.

il tuo risultato su m è giusto, quindi tengo $m=4e^(pi/2)$


$lim_(x->+infty)(4x-3)e^arctan(2x)-4e^(pi/2)x$ sviluppo il prodotto


$lim_(x->+infty)4xe^arctan(2x)-3e^arctan(2x)-4e^(pi/2)x$ raccolgo parzialmente $4e^(pi/2)x$


$lim_(x->+infty)4xe^(pi/2)(e^(arctan(2x)-pi/2)-1)-3e^(pi/2)$


notiamo quel bel limite notevolte che sta affiorando e cerchiamo di ricondurci a $lim_(x->0)(e^x-1)/x$

$arctan(2x)-pi/2=z$

$arctan(2x)=z+pi/2$
essendo $-pi/2

$x=tan(pi/2+z)/2$

$x=-cot(z)/2$

inoltre se $x->+infty, z->0^-$ questo perché $arctan(2x)->pi/2$ quindi sarà sempre minore di $pi/2$ ed andando dopo a sottrargli proprio $pi/2$ risulterà qualcosa di infinitesimo, ma negativo.

notiamo che $z->0^-$ quindi siamo a cavallo.


$lim_(z->0^-)-2cot(z)e^(pi/2)(e^z-1)-lim_(z->0^-)3e^(pi/2)$


il secondo limite produce $-3e^(pi/2)$ e ce lo teniamo da parte.
ora nel primo limite moltiplichiamo e dividiamo per $z$


$lim_(z->0^-)-2cot(z)*e^(pi/2)z*((e^z-1)/z)$ ecco li il primo limite notevole


$lim_(z->0^-)(e^z-1)/z=1$ e questo non cambierà nulla al nostro limite.


$lim_(z->0^-)-2cot(z)*z*e^(pi/2)$


$lim_(z->0^-)-2e^(pi/2)(cos(z)/sin(z))*z$


$lim_(z->0^-)-2e^(pi/2)cos(z)*(z/sin(z))$ ecco l'altro limite notevolte $lim_(z->0^-)z/sin(z)=1$


$lim_(z->0^-)-2cos(z)e^(pi/2)= -2e^(pi/2)$


ricomponendo i risultati abbiamo ottenuto $-2e^(pi/2)-3e^(pi/2)= -5e^(pi/2)$
Si poteva risolvere anche con de l'Hôpital ma non c'era motivo di scomodarlo.


$y=4e^(pi/2)x-5e^(pi/2)$ è la retta asintotica.


come prima ti dicevo inoltre per $x->-infty$ c'è un altro asintoto obliquo, che ha equazione $y=4e^(-pi/2)x-5e^(-pi/2)$

[Berationalgetreal]

"anto_zoolander":Considera che c'è un asintoto anche a $-infty$ che è diverso..

comunque questo limite è carino, io l'ho risolto così.

il tuo risultato su m è giusto, quindi tengo $m=4e^(pi/2)$


$lim_(x->+infty)(4x-3)e^arctan(2x)-4e^(pi/2)x$ sviluppo il prodotto


$lim_(x->+infty)4xe^arctan(2x)-3e^arctan(2x)-4e^(pi/2)x$ raccolgo parzialmente $4e^(pi/2)x$


$lim_(x->+infty)4xe^(pi/2)(e^(arctan(2x)-pi/2)-1)-3e^(pi/2)$

In realtà, arrivato a questo punto hai praticamente finito. Utilizzando la relazione fondamentale dell'arcotangente:

\[ \arctan (2x) - \frac{\pi}{2} = - \arctan \left ( \frac{1}{2x} \right ) \sim - \frac{1}{2x}, \ x \to + \infty \]

Quindi il limite si riduce a

\[ \lim_{x \to + \infty } { \left ( -2e^{\frac{\pi}{2}} -3 e^{\frac{\pi}{2}} \right )}= -5 e^{\frac{\pi}{2}} \]