Ugualianza Sconosciuta numero 2

[squalllionheart]

$sum_(r=0)^oo 1/(2r+1)^2=int_0^1 int_0^1 (dxdy)/(1-x^2y^2)$

Non riesco a mettere insieme i pezzi del mosaico ho le seguenti relazioni che ho dimostrato precedentemente:
1. $sum_(r=0)^oo 1/(2r+1)^2=sum_(n=1)^oo 1/n^2- sum_(m=1)^oo 1/(2m)^2$
2. $1/n^2=int_0^1 int_0^1 x^(n-1)y^(n-1)dxdy$
Avevo pensato di scrivere
$sum_(r=0)^oo 1/(2r+1)^2=sum_(n=1)^oo 1/n^2- sum_(m=1)^oo 1/(2m)^2=sum_(n=1)^oo int_0^1 int_0^1 x^(n-1)y^(n-1)dxdy- sum_(n=1)^oo int_0^1 int_0^1 x^(2m-1)y^(2m-1)dxdy$
Considerando la linearità dell'integrale e il teorema di Beppo Levi posso scrivere:
$=sum_(n=1)^oo int_0^1 int_0^1 x^(n-1)y^(n-1)dxdy- sum_(n=1)^oo int_0^1 int_0^1 x^(2m-1)y^(2m-1)dxdy=sum_(n=1)^oo (=int_0^1 int_0^1 x^(n-1)y^(n-1)- x^(2m-1)y^(2m-1) )dxdy$
$=int_0^1 int_0^1 ( sum_(n=1)^oo x^(n-1)y^(n-1)- x^(2m-1)y^(2m-1) )dxdy$
$=int_0^1 int_0^1 ( sum_(n=1)^oo (xy)^(2m-1) [(xy)^(n-2m)-1] )dxdy$

Ringrazio in anticipo la vostra disponibilità

[gugo82]

Più semplice: hai:
\[\begin{split} \iint_{[0,1]^2} \sum_{n=1}^{\infty} (xy)^{n-1} &= \iint_{[0,1]^2} \frac{1}{1-xy} \qquad \text{(somma della serie geometrica)} \\
\iint_{[0,1]^2} \sum_{n=1}^{\infty} (xy)^{2n-1} &= \iint_{[0,1]^2} xy\ \sum_{n=1}^{\infty} (x^2y^2)^{n-1} \\
&= \iint_{[0,1]^2} \frac{xy}{1-x^2y^2} \qquad \text{(sempre per la serie geometrica)}\end{split}\]
quindi:
\[\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n+1)^2} =\iint_{[0,1]^2} \left( \frac{1}{1-xy} -\frac{xy}{1-x^2y^2}\right) =\iint_{[0,1]^2} \frac{1}{1-x^2y^2}\; .\]

[xdom="gugo82"]Ma sinceramente non ho capito perchè hai aperto tre thread distinti per tre questioni collegate... La prossima volta evita, così non appesantiamo il DB del forum inutilmente. [/xdom]

[squalllionheart]

Hai ragione Gugo, in pratica sono varie dimostrazioni di una stessa cosa ed in ogniuna di esse tirano fuori dal cappello qualche relazione che viene data per ovvia o conosciuta.