Uguaglianze tra limsup

[marysax90]

Salve a tutti i forumisti.

Ho una successione di numeri ${c_n}_n$ e pongo \(\displaystyle \limsup_{n \to \infty}\)$ root(n)(abs(c_n))=1/R$

Sapendo che $lim_{n \to \infty} root(n)(n)=1$, "dovrebbe" essere evidente che \(\displaystyle \limsup_{n \to \infty}\)$ root(n)(nabs(c_n))=1/R$

Facendo un paio di osservazioni sulle successioni estratte, ho dimostrato che \(\displaystyle \limsup_{n \to \infty}\)$ root(n)(nabs(c_n))>=1/R$. Ora mi resta da dimostrare la disuguaglianza opposta, e qui ho dei problemi.

Qualcuno ha qualche idea? Grazie.

[dissonance]

Scrivi \(\sqrt[n]{n a_n}=\sqrt[n]{n}\sqrt[n]{a_n}\). Moltiplicare una successione per una roba che tende a \(1\) non ha nessun effetto sui suoi punti limite.

[gugo82]

In generale, se non ricordo male, si può dimostrare la seguente cosa:

Siano \((a_n)\) e \((b_n)\) due successioni reali.
Se \(\lim_n a_n = a\) allora:
\[
\limsup_n a_nb_n = \begin{cases} a\cdot \limsup_n b_n &\text{, se } a\geq 0\\ a\cdot \liminf_n b_n &\text{, se } a<0\end{cases}
\]
a meno che i prodotti al secondo membro non si presentino in "forma indeterminata".

Basterà usare la definizione di successione convergente e quella di massimo/minimo limite.

[marysax90]

@dissonance, gugo82

Grazie