Uguaglianze con integrali

[Andrea902]

Buonasera a tutti,

ho un problema con un passaggio. Molto probabilmente è una cosa facile ma non riesco a venirne a capo per il momento.
Per evitare di appesantire la discussione, evito di riportarvi il problema per intero. Lo farò se secondo voi la spiegazione è da ricercarsi nel problema stesso e non in passaggi formali.
Supponiamo che $g\in L_{\mbox{loc}}^1(\mathbb{R})$ e che \[ \int_{\mathbb{R}}g\varphi dx=\varphi(0),\qquad \forall \varphi\in C_0^\infty(\mathbb{R}).\]
Perché da questa relazione segue che
\[ \int_{0}^{+\infty}g\varphi dx=0,\qquad \forall \varphi\in C_0^\infty(]0,+\infty[)?\]

Vi ringrazio anticipatamente per le risposte.

[Andrea902]

Nessun suggerimento?

[gugo82]

Beh, dato che il supporto di \(\varphi\) è compatto e contenuto in \(]0,\infty[\), allora \(\phi (0)=0\).

[Andrea902]

Sì sì, se il supporto di $\varphi$ è compatto e contenuto in $]0,+\infty[$ ci siamo.
Il problema è che non capisco come passiamo dalla prima affermazione, valida per ogni $\varphi\in C_0^\infty(\mathbb{R})$, alla seconda che è valida per ogni $\varphi\in C_0^\infty(]0,+\infty[)$...

[Rigel1]

Se hai \(\varphi \in C^{\infty}_0(]0, +\infty[)\), la puoi estendere ponendola uguale a \(0\) su \(]-\infty, 0]\) ottenendo una funzione di classe \(C^{\infty}_0(\mathbb{R})\) tale che \(\varphi(0) = 0\).

[Andrea902]

"Rigel":Se hai \( \varphi \in C^{\infty}_0(]0, +\infty[) \), la puoi estendere ponendola uguale a \( 0 \) su \( ]-\infty, 0] \) ottenendo una funzione di classe \( C^{\infty}_0(\mathbb{R}) \) tale che \( \varphi(0) = 0 \).

Certo, fin qui ci sono. È il viceversa che non mi è chiaro...

[Rigel1]

Si tratta di una implicazione, non di una equivalenza: la prima relazione implica la seconda, non viceversa.

[Andrea902]

"Rigel":Si tratta di una implicazione, non di una equivalenza: la prima relazione implica la seconda, non viceversa.

Sì, certo. Questo è chiaro.
Allora l'implicazione che ho presentato, al di là delle uguaglianze con gli integrali, non va interpretata dicendo che "se $\varphi\in C_0^\infty (\mathbb{R})$, allora $\varphi\in C_0^\infty (]0,+\infty[)$"?
A questo punto leggerei l'implicazione in oggetto così: "se vale la prima relazione, allora se si sceglie una $\varphi\in C_0^\infty (]0,+\infty[)$, si ha la seconda relazione".
È corretto?

[Rigel1]

"Andrea90":Allora l'implicazione che ho presentato, al di là delle uguaglianze con gli integrali, non va interpretata dicendo che "se $\varphi\in C_0^\infty (\mathbb{R})$, allora $\varphi\in C_0^\infty (]0,+\infty[)$"?

E' esattamente il contrario.
Tu sai che vale la (1), vuoi dimostrare che vale la (2).
Cosa devi fare per dimostrare la (2)? Devi far vedere che, se prendi \(\varphi\in C_0^\infty (]0,+\infty[)\), vale l'uguaglianza integrale.
Ti accorgi che la tua \(\varphi\) può essere estesa in maniera tale da stare in \(C_0^\infty (\mathbb{R})\) (in questo senso si può pensare che \(C_0^\infty (]0,+\infty[)\) sia contenuto in \(C_0^\infty (\mathbb{R})\)).
Ma allora è una funzione test ammissibile nella relazione (1), che sai già essere vera per ipotesi. Usi la relazione (1), che ti dice che l'integrale vale \(\varphi(0)\). Visto il modo in cui la tua funzione è stata estesa, sai che \(\varphi(0)=0\). Fine.

[Andrea902]

Ok, perfetto. Ora è tutto chiaro.
Grazie mille!