Uguaglianza tra radici complesse

[Edex1]

Salve ragazzi,
ho il seguente problema:
Presi $z \in \C$ e $w \in \C$ definiamo $z^w = e^{w \cdot log(z)}$ (la determinazione principale della potenza).
E' vera l'uguaglianza $\sqrt(z^2-1) = i \cdot \sqrt(1-z^2)$?
Mi verrebbe da dire di si, ma i domini di olomorfia sono diversi e questo è strano.
Un aiuto?
Grazie!

[luc.mm]

Perchè sarebbero diversi?

[Edex1]

Magari sto dicendo cavolate (è la prima volta che approccio all'analisi complessa), però il primo ha lo stesso dominio di olomorfia di $log(z^2-1)$ e il secondo di $log(1-z^2)$ (per definizione di potenza complessa) che sono diversi,no?

[Steven11]

Non tocco analisi complessa da una vita, comunque temo che il problema possa risiedere qua.
Nei complessi, la regola $\sqrt(xy)= \sqrt(x) \sqrt(y)$ non vale in generale, vedi ad esempio la famosa contraddizione $1=-1$ spiegata sulla pagina che ti ho mandato.

[Edex1]

Perfetto, grazie

[luc.mm]

"Edex":Magari sto dicendo cavolate (è la prima volta che approccio all'analisi complessa), però il primo ha lo stesso dominio di olomorfia di $log(z^2-1)$ e il secondo di $log(1-z^2)$ (per definizione di potenza complessa) che sono diversi,no?

E quali sono i domini di olomorfia di quelle funzioni? In entrambe hai gli stessi punti di diramazione.

Comunque quando hai a che fare con funzioni polidrome le uguaglianze sono uguaglianze tra in insiemi, per questo non funziona. Infatti $ log z^2!=2logz $.