Uguaglianza tra funzioni

[mrfireball]

Ciao ragazzi,
sapreste dirmi come si passa da questa funzione
\(x(t)=x_0\cos(pt) + \frac{\dot{x_0}}{p}\sin(pt)\)
a questa
\( x(t)=\sqrt{x_0^2 + \frac{\dot{x_0}^2}{p^2 }} \sin(pt + \arctan{\frac{px_0}{\dot{x_0}}} ) \) ?

In forma più generale dovrebbe essere un passaggio da
\( x(t)=C_1cos(pt) + C_2sin(pt) \)
a
\( x(t)=Asin(pt + \varphi) \)

non ricordo proprio come si fa, eppure l'ho già fatto in passato

[gugo82]

Se hai:
\[
x(t) = C_1\ \cos (p\ t) + C_2\ \sin (p\ t)
\]
con \(C_1\neq 0\) o \(C_2\neq 0\), l'idea è quella di ridurre tutto in una forma cui applicare "a ritroso" la formula di addizione del seno.
In particolare, moltiplicando e dividendo per \(A:=\sqrt{C_1^2 +C_2^2}\) ottieni:
\[
x(t) = A\ \left( \frac{C_1}{A}\ \cos (p\ t) + \frac{C_2}{A}\ \sin (p\ t)\right)\; ;
\]
Dato che i coefficienti \(\frac{C_1}{A}\) e \(\frac{C_2}{A}\) hanno i quadrati a somma unitaria, essi sono rispettivamente seno e coseno di un opportuno angolo, i.e. esiste \(\phi\) in modo che:
\[
\begin{cases}
\sin \phi = \frac{C_1}{A} \\
\cos \phi = \frac{C_2}{A}\; ;
\end{cases}
\]
sicché la precedente si riscrive:
\[
\begin{split}
x(t) &= A\ \left( \sin \phi\ \cos (p\ t) + \cos \phi\ \sin (p\ t)\right)\\
&= A\ \sin (p\ t +\phi)\; .
\end{split}
\]
La formula esplicita per ricavare \(\phi\) dipende dai segni delle \(C_i\), ma in generale coinvolge l'arcotangente.

[mrfireball]

Grazie mille gugo