Uguaglianza tra due sommatorie
Ciao a tutti. Non riesco a dimostrare la seguente uguaglianza, che mi è utile per la risoluzione di un post nella sezione di statistica e probabilità (titolo "Power series distribution"):
$sum_{j=k}^{infty}((j+r-1),(j))p^j(1-p)^r=sum_{j=k}^{k+r-1}{(k+r-1)!}/{j!(k+r-1-j)!}p^j(1-p)^{k+r-1-j}$,
dove $r$ e $k$ sono interi non negativi e $0<=p<=1$. Una precisazione: la sommatoria sulla destra è chiamata "regularized incomplete beta function" ed è indicata $I_p(k,r)$.
$sum_{j=k}^{infty}((j+r-1),(j))p^j(1-p)^r=sum_{j=k}^{k+r-1}{(k+r-1)!}/{j!(k+r-1-j)!}p^j(1-p)^{k+r-1-j}$,
dove $r$ e $k$ sono interi non negativi e $0<=p<=1$. Una precisazione: la sommatoria sulla destra è chiamata "regularized incomplete beta function" ed è indicata $I_p(k,r)$.
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