Uguaglianza "parametrica"
Saluti. Ho il seguente esercizio:
Ho risolto così:
siccome l'argomento del coseno tende a zero al tendere di \(\displaystyle x \) all'infinito, posso utilizzare lo sviluppo in serie. Quindi si ha (mi fermo al secondo ordine) \[\displaystyle \cos \left(\frac{x+2}{x^{2} + 4} \right) = 1 - \frac{\left(\frac{x+2}{x^{2}+4} \right)^{2}}{2} + o \left[\left(\frac{x+2}{x^{2}+4} \right)^{2} \right] \]
siccome \(\displaystyle \left(\frac{x+2}{x^{2}+4} \right)^{2} \sim \frac{1}{x^{2}} \) se, \(\displaystyle x \to + \infty \) posso concludere che \(\displaystyle \alpha=1, \ \beta=-\frac{1}{2}, \ \mbox{e} \ \gamma=2 \)?
Trovare \(\displaystyle \alpha, \ \beta, \ \gamma \ \in \mathbb{R} \smallsetminus \{0\} \) tali che \[\displaystyle \cos \left( \frac{x+2}{x^{2}+4} \right) = \alpha + \frac{\beta}{x^{\gamma}} + o \left(\frac{1}{x^{\gamma}} \right) \qquad \mbox{per} \ x \to +\infty \]
Ho risolto così:
siccome l'argomento del coseno tende a zero al tendere di \(\displaystyle x \) all'infinito, posso utilizzare lo sviluppo in serie. Quindi si ha (mi fermo al secondo ordine) \[\displaystyle \cos \left(\frac{x+2}{x^{2} + 4} \right) = 1 - \frac{\left(\frac{x+2}{x^{2}+4} \right)^{2}}{2} + o \left[\left(\frac{x+2}{x^{2}+4} \right)^{2} \right] \]
siccome \(\displaystyle \left(\frac{x+2}{x^{2}+4} \right)^{2} \sim \frac{1}{x^{2}} \) se, \(\displaystyle x \to + \infty \) posso concludere che \(\displaystyle \alpha=1, \ \beta=-\frac{1}{2}, \ \mbox{e} \ \gamma=2 \)?
Risposte
Confermo.
Grazie.
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