Uguaglianza q.o. e continuità

[Gaal Dornick]

Ciao a tutti.

Mi sono sempre chiesto, ma non riesco mai a scriverlo e a pensarci per bene. Proviamoci insieme.

Consideriamo una funzione continua $f$. Questa è un rappresentante per una classe di equivalenza di funzioni q.o.
Nella classe considerata, $f$ è l'unica funzione continua?

Insomma, se cambiamo una funzione continua su un insieme trascurabile (non vuoto) possiamo ottenere una funzione continua?

[rbtqwt]

Provo ! Consideriamo un intervallo $[a,b] \subset \mathbb R$, $f,g : [a,b] \to \mathbb R$ continue tali che $f = g$ q.o. e $m$ la misura di Lebesgue.
Preso $x_0 \in (a,b)$, se fosse $f(x_0) \ne g(x_0)$, per la continuità di $f$ e $g$ esisterebbe un intervallo $(x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon) \subseteq (a,b)$ tale che per ogni $x \in (x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon)$ si abbia $f(x) \ne g(x)$, ma ciò è in contraddizione col fatto che $f = g$ q.o., in quanto [tex]m((x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon)) = 2\varepsilon > 0[/tex].

[Gaal Dornick]

Bene!
Di più, hai provato che:

Data una funzione definita q.o., se si riesce a trovare un suo rappresentante continuo in un punto, è l'unico rappresentante con questa proprietà.

Grazie.