Uguaglianza di parseval ...
Cari ragazzi vorrei una piccola conferma a riguardo dell'uguaglianza di Parseval , la quale afferma :
$ int_()^() (f(t))^2dt $ = $ (a_0)^2 /2 $ + $ sum_(k = 1)^( oo ) (a_k)^2 + (b_k)^2 $
vale se la funzione di partenza è 2-integrabile ? Oppure l'ipotesi deve essere più forte (vs debole ) ? Ringrazio anticipatamente per la collaborazione .
$ int_()^() (f(t))^2dt $ = $ (a_0)^2 /2 $ + $ sum_(k = 1)^( oo ) (a_k)^2 + (b_k)^2 $
vale se la funzione di partenza è 2-integrabile ? Oppure l'ipotesi deve essere più forte (vs debole ) ? Ringrazio anticipatamente per la collaborazione .
Risposte
Per 2-integrabile cosa intendi? Che il quadrato della funzione è integrabile?
Nel senso che la funzione deve essere integrabile due volte , Mr !
"menale":E questo non significa proprio niente. L'ipotesi giusta è che \(f\) sia a quadrato integrabile, ovvero quella che dice Mrhaha.
Nel senso che la funzione deve essere integrabile due volte , Mr !
"dissonance":E questo non significa proprio niente. L'ipotesi giusta è che
[quote="menale"]Nel senso che la funzione deve essere integrabile due volte , Mr !
Si , dissonance , era un modo per prendere in giro Mrhaha dal momento che frequentiamo lo stesso corso
In realtà vorrei sapere se tale ipotesi sia sufficiente per sostenere la validità dell'uguaglianza di Parseval ? 
Certo, è sufficiente.
P.S.: Ma perché ti porti quelle frasi in firma? Ammiri D'Annunzio? Si tratta di un personaggio che non stimo.
P.S.: Ma perché ti porti quelle frasi in firma? Ammiri D'Annunzio? Si tratta di un personaggio che non stimo.
La prima frase non è di d'Annunzio , ma è una delle lezioni della filosofia taoista . Per quanto concerne la seconda ammetto che è conosciuta come massima di d'Annunzio ( considerando anche la sua linea socio-politica......) ; in realtà io la considero come una rivisitazione della frase kantiana "sapere aude" , ovviamente , con la sua accezione di carattere culturale-conoscitivo . Spero di essere stato chiaro a riguardo ! 
Menale faccia poco il simpatico che qua la situazione è drastica!
Scusami dissonance esiste una dimostrazione semplice di tale uguaglianza? Perchè quello che ho viste io sono complicatissime!
Scusami dissonance esiste una dimostrazione semplice di tale uguaglianza? Perchè quello che ho viste io sono complicatissime!
Ragazzi è modulo di $f$ al quadrato, attenzione ;p
"squalllionheart":
Ragazzi è modulo di $f$ al quadrato, attenzione ;p
Ma sicuramente si intende che \(f\) è una funzione reale definita su \((-\pi, \pi)\) e che \(a_n, b_n\) sono i coefficienti di Fourier rispetto a coseni e seni. Quindi niente numeri complessi e non occorre il modulo.
Per quanto riguarda l'identità di Parseval si tratta di un risultato classico che in termini generali è riformulato così:
nello spazio di Hilbert \(L^2\big((-\pi, \pi)\big)\), il sistema trigonometrico è completo e ortonormale, e quindi è una base ortonormale.
Dimostrazioni proprio "semplici" non ne conosco. In realtà la difficoltà sta nel dimostrare la cosiddetta forma trigonometrica del teorema di Weierstrass: ogni funzione continua e \(2\pi\)-periodica si può approssimare uniformemente con una successione di polinomi trigonometrici. Fatto questo, il risultato di completezza citato sopra segue facilmente.
P.S.: @menale: Grazie per le informazioni!
Di nulla , Dissonanca !
"dissonance":
[quote="squalllionheart"]Ragazzi è modulo di $f$ al quadrato, attenzione ;p
Ma sicuramente si intende che \(f\) è una funzione reale definita su \((-\pi, \pi)\) e che \(a_n, b_n\) sono i coefficienti di Fourier rispetto a coseni e seni. Quindi niente numeri complessi e non occorre il modulo.
Per quanto riguarda l'identità di Parseval si tratta di un risultato classico che in termini generali è riformulato così:
nello spazio di Hilbert \(L^2\big((-\pi, \pi)\big)\), il sistema trigonometrico è completo e ortonormale, e quindi è una base ortonormale.
Dimostrazioni proprio "semplici" non ne conosco. In realtà la difficoltà sta nel dimostrare la cosiddetta forma trigonometrica del teorema di Weierstrass: ogni funzione continua e \(2\pi\)-periodica si può approssimare uniformemente con una successione di polinomi trigonometrici. Fatto questo, il risultato di completezza citato sopra segue facilmente.
P.S.: @menale: Grazie per le informazioni![/quote]
Non centra nulla col topic...ma il teorema di Stone-Weierstrass è qualcosa di spettacolare. Lo sto studiando per l'esame di analisi 3 e sono rimasto sorpreso per le notevoli applicazioni legate agli spazi metrici, sopratutto per quel che riguarda la separabilità di alcuni spazi funzionali.
In termini per me chiari sarebbe Lorin?
Una delle conseguenze importanti che ho studiato, dopo la lunga, ma affascinante, dimostrazione del teorema in questione, riguarda la separabilità dello spazio delle funzioni continue su un compatto $C([a,b])$. Se hai studiato un pò di queste cose, io personalmente la definizione vera e propria di spazio separabile l'ho studiata in topologia (geometria 3), allora il teorema ci dice che lo spazio dei polinomi $P([a,b])$ è denso in $C([a,b])$ ed è anche numerabile (è facile da far vedere) e quindi lo spazio $C([a,b])$ risulta essere separabile.
Non è facile,ma penso di averne colto il senso!
Gentile come sempre Lorin!
Gentile come sempre Lorin!
Penso che Dissonance potrebbe essere anche più preciso di me...però se vuoi vederlo meglio vieni in biblioteca e ci facciamo una chiaccherata!
PS: un consiglio che ti dò in vista di analisi 3 che dovrai fare...fatti prima geometria 3, che ti dà una forte base di conoscenze topologiche per affrontare al meglio gli altri esami!
PS: un consiglio che ti dò in vista di analisi 3 che dovrai fare...fatti prima geometria 3, che ti dà una forte base di conoscenze topologiche per affrontare al meglio gli altri esami!
Grazie del consiglio! Approfitterò (anzi,approfitteremo!) di te! 
"Lorin":
lo spazio dei polinomi $P([a,b])$ è denso in $C([a,b])$
Ecco, esatto. Per dimostrare la completezza del sistema trigonometrico, ovvero l'identità di Parseval, serve una variante di quel teorema: lo spazio dei polinomi trigonometrici, ovvero le funzioni di tipo
\[T_n(t)=a_0+\sum_{k=1}^n \big(a_k \cos (kt) + b_k \sin (kt)\big)\]
è denso in \(C(\mathbb{T})\), lo spazio delle funzioni reali di variabile reale continue e \(2\pi\)-periodiche, dotato della norma del sup. (*)
____________
(*) \(\mathbb{T}\) è uno dei simboli per indicare la circonferenza unitaria. Infatti una funzione \(2\pi\) periodica si può identificare in modo ovvio con una funzione definita sulla circonferenza.
In questo post sono state dette davvero tante cose interessanti 
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