Uguaglianza di o piccoli

[robott1]

Ho travato il seguente esercizio che riesco a risolvere solo in parte:

Dimostrare che $log(x^2+2)-log(x^2+1)=1/(x^2)+o(1/x^2)$ per $x -> +oo$

Io ho calcolato il limite che viene 0.. ma come faccio a fare la dimostrazione?

Grazie per l'aiuto!

[gugo82]

Proprietà dei logaritmi ($log a-logb=log(a/b)$), un po' di semplificazioni nell'argomento e formula di Taylor-MacLaurin... Dovresti uscirne in due minuti.

[robott1]

L'esercizio è inserito in un capitolo che precede la formula di Taylor quindi non è necessaria, anzi dovrei riuscirci senza (anche perchè non l'ho ancora studiata per benino! =D).

Utilizzare la proprietà dei log mi ha portato a risolvere il limite ma non riesco e trovare quello che vuole lui!

[gugo82]

Allora bastano le proprietà del logaritmo, il teorema sul limite del prodotto ed il limite fondamentale $lim_(y \to 0) (log(1+y))/y=1$... Siamo sempre lì.

In apltre parole hai:

$ln(x^2+2)-ln(x^2+1)=ln(1+1/(x^2+1))$

quindi, per il limite fondamentale, è:

$lim_(x\to +oo) (ln(x^2+2)-ln(x^2+1))/(1/(x^2+1))=lim_(x\to +oo) (ln(1+1/(x^2+1)))/(1/(x^2+1))=1$;

d'altra parte è pure:

$lim_(x\to +oo) (1/(x^2+1))/(1/x^2)=1$

cosicché il teorema sul limite del prodotto assicura che:

$lim_(x\to +oo)(ln(x^2+2)-ln(x^2+1))/(1/x^2)=(ln(1+1/(x^2+1)))/(1/(x^2+1))*(1/(x^2+1))/(1/x^2)=1$.

Dalla relazione precedente, portando $1$ dentro il limite al primo membro e prendendo il m.c.m., troviamo:

$lim_(x\to +oo)(ln(x^2+2)-ln(x^2+1)-1/x^2)/(1/x^2)=0$

onde $ln(x^2+2)-ln(x^2+1)-1/x^2="o"(1/x^2)$ e da qui concludere è semplicissimo.

[robott1]

Grazie mille! Adesso è chiaro!