Uber's function....
finalmente ho fatto l'esame di Teoria dei Gruppi... che fatica....
giuro che per almeno 2 o 3 ......giorni.... non farò algebra....
ho deciso di aprire un nuovo topic con la soluzione dell'esercizio
postato in "magari con l'analisi va meglio", in modo che possa
essere letto dal maggior numero di persone...
il nome della funzione è il mio.... scherzosamente,
visto che probabilmente trattasi di una scoperta di Cantor...
di un secolo e mezzo fa.
Veniamo al dunque:
l'obiettivo è costruire una funzione limitata, continua e derivabile
su [0,1], strettamente crescente e con derivata nulla in una infinità
piùcchenumerabile di punti. Struttererò la discussione in due parti,
nella prima introduco e discuto le principali proprietà di un insieme
particolare, detto di Cantor; nella seconda costruisco la funzione...
I PARTE (l'insieme di Cantor)
siano:
$C_0$ l'intervallo $[0,1]$ dei numeri reali,
$C_1$ l'unione $[0,1/3]\cup[2/3,1]$
$C_2=[0,1/9]\cup[2/9,1/3]\cup[6/9,7/9]\cup[8/9,1]$
....
...
e via dicendo ad ogni passo si prendono tutti gli intervalli del passo
precedente, si dividono in 3 e si esclude quello centrale.
Scrivere una formula per tale operazione è piuttosto faticoso....
Atal punto si definisce l'insieme di Cantor $C=\cap_{n=0}^{\infty}C_n$
l'insieme di Cantor ha delle notevoli proprietà, riassunte nel seguente:
teorema:
L'insieme di Cantor $C$ ha la cardinalità del continuo, è chiuso e totalmente
sconnesso.
dove il "totalmente sconnesso" significa che per passare in maniera continua
da un punto di $C$ ad un altro, bisogna necessariamente uscire da $C$.
La totale sconnessione e la chiusura (ogni successione a valori in $C$ e
convergente ha anche il limite in $C$) di $C$ si vedono molto facilmente dal punto
di vista topologico, oppure con un pò di conti... in entrambi i casi ritengo
opportuno tralasciarne la dimostrazione.
Per quanto riguarda la cardinalità è piuttosto facile mostrare che è quella del continuo,
se qualche lettore ha disegnato i primi pezzi dell'insieme di Cantor si sarà accorto
che per individuarne un punto è necessario e sufficiente, ad ogni iterazione, scegliere
in quale dei due sottointervalli di un intervallo si trova tale punto...
Lasciando da parte le formalizzazioni ne segue che i punti dell'insieme di Cantor
sono in corrispondenza biunivoca con le successioni di 0,1 (successioni delle scelte
destra-sinistra), le quali, si sa, sono in bijezione coi reali.
II PARTE (Uber's Function)
Mi propongo di costruire una funzione con derivata nulla sull'insieme di Cantor
e derivata positiva altrove. Osservo subito che tali condizioni danno gratuitamente
la stretta crescenza, in quanto $C$ è totalmente sconnesso (per una dimostrazione di
questo fatto si veda il topic "Visto che si parla di Cantor").
L'idea è simile a quella della costruzione dell'insieme di Cantor:
costruisco una successione di funzioni la cui k-esima ha derivata nulla su $C_0$
e poi definirò la "Uber's function" come somma della serie.
Vi consiglio di prendere un foglio e disegnare le funzioni che
costruisco, per visualizzare l'idea
Sia allora $f_1$ una qualsivoglia funzione con le seguenti proprietà:
1) $f_1(x)= -1$ per $x\in[0,1/3]$;
2) $f_1(x)= 1$ per $x\in[2/3,1]$;
3) $f_1(x)$ derivabile in $[1/3,2/3]$ e tale che $f_1(1/3)= -1$,
$f_1(2/3)=1$, $f_1^{\prime}(1/3)=f_1^{\prime}(2/3)=f_1(1/2)=0$, $f_1^{\prime}(x)>0,x\in(1/3,2/3)$.
Una siffatta funzione esiste e può essere costruita ad esempio
con delle funzioni trigonometriche
Definiamo ora ricorsivamente $f_k(x)$ nel seguente modo:
$f_k(x)=1/(4^{k-1})f_{k-1}(3x) - 1/(4^{k-1})$ per $x\in[0,1/3]$
$f_k(x)=0$ per $x\in[1/3,2/3]$
$f_k(x)=1/(4^{k-1})f_{k-1}(3(x-2/3)) + 1/(4^{k-1})$ per $x\in[2/3,1]$.
trattasi dunque della funzione $f_{k-1}$ presa due volte, la prima volta
rimpicciolita e traslata in [0,1/3] e poi abbassata,e la seconda rimpicciolita e traslata dall'altra
parte e poi alzata.
Definiamo ora $U(x)=\sum_{k=1}^{\infty}f_k(x)$. Questa è somma di una serie
di funzioni continue e derivabili e tale serie converge totalmente in quanto ogni funzione,
è per definzione $\leq1/(2^k)$ dunque la somma della serie è una funzione continua,
derivabile e limitata. Mostriamo che ha derivata nulla solo sui punti dell'insieme di Cantor.
sia $x\inC$, allora per costruzione $f_k^{\prime}(x)=0,\forall k$, dunque $f'(x)=0$. Viveversa, se $x$
non appartiene a $C$ esiste un indice $k$ per cui $f_k^{\prime}(x)>0$ e dunque $f'(x)>0$...
credo d'aver detto tutto...
sperando che la mia fatica di passare quasi un'ora e mezza a scrivere non sia
inutile e che qualcuno abbia letto sin qua.
Saluti a Tutti
giuro che per almeno 2 o 3 ......giorni.... non farò algebra....
ho deciso di aprire un nuovo topic con la soluzione dell'esercizio
postato in "magari con l'analisi va meglio", in modo che possa
essere letto dal maggior numero di persone...
il nome della funzione è il mio.... scherzosamente,
visto che probabilmente trattasi di una scoperta di Cantor...
di un secolo e mezzo fa.
Veniamo al dunque:
l'obiettivo è costruire una funzione limitata, continua e derivabile
su [0,1], strettamente crescente e con derivata nulla in una infinità
piùcchenumerabile di punti. Struttererò la discussione in due parti,
nella prima introduco e discuto le principali proprietà di un insieme
particolare, detto di Cantor; nella seconda costruisco la funzione...
I PARTE (l'insieme di Cantor)
siano:
$C_0$ l'intervallo $[0,1]$ dei numeri reali,
$C_1$ l'unione $[0,1/3]\cup[2/3,1]$
$C_2=[0,1/9]\cup[2/9,1/3]\cup[6/9,7/9]\cup[8/9,1]$
....
...
e via dicendo ad ogni passo si prendono tutti gli intervalli del passo
precedente, si dividono in 3 e si esclude quello centrale.
Scrivere una formula per tale operazione è piuttosto faticoso....
Atal punto si definisce l'insieme di Cantor $C=\cap_{n=0}^{\infty}C_n$
l'insieme di Cantor ha delle notevoli proprietà, riassunte nel seguente:
teorema:
L'insieme di Cantor $C$ ha la cardinalità del continuo, è chiuso e totalmente
sconnesso.
dove il "totalmente sconnesso" significa che per passare in maniera continua
da un punto di $C$ ad un altro, bisogna necessariamente uscire da $C$.
La totale sconnessione e la chiusura (ogni successione a valori in $C$ e
convergente ha anche il limite in $C$) di $C$ si vedono molto facilmente dal punto
di vista topologico, oppure con un pò di conti... in entrambi i casi ritengo
opportuno tralasciarne la dimostrazione.
Per quanto riguarda la cardinalità è piuttosto facile mostrare che è quella del continuo,
se qualche lettore ha disegnato i primi pezzi dell'insieme di Cantor si sarà accorto
che per individuarne un punto è necessario e sufficiente, ad ogni iterazione, scegliere
in quale dei due sottointervalli di un intervallo si trova tale punto...
Lasciando da parte le formalizzazioni ne segue che i punti dell'insieme di Cantor
sono in corrispondenza biunivoca con le successioni di 0,1 (successioni delle scelte
destra-sinistra), le quali, si sa, sono in bijezione coi reali.
II PARTE (Uber's Function)
Mi propongo di costruire una funzione con derivata nulla sull'insieme di Cantor
e derivata positiva altrove. Osservo subito che tali condizioni danno gratuitamente
la stretta crescenza, in quanto $C$ è totalmente sconnesso (per una dimostrazione di
questo fatto si veda il topic "Visto che si parla di Cantor").
L'idea è simile a quella della costruzione dell'insieme di Cantor:
costruisco una successione di funzioni la cui k-esima ha derivata nulla su $C_0$
e poi definirò la "Uber's function" come somma della serie.
Vi consiglio di prendere un foglio e disegnare le funzioni che
costruisco, per visualizzare l'idea
Sia allora $f_1$ una qualsivoglia funzione con le seguenti proprietà:
1) $f_1(x)= -1$ per $x\in[0,1/3]$;
2) $f_1(x)= 1$ per $x\in[2/3,1]$;
3) $f_1(x)$ derivabile in $[1/3,2/3]$ e tale che $f_1(1/3)= -1$,
$f_1(2/3)=1$, $f_1^{\prime}(1/3)=f_1^{\prime}(2/3)=f_1(1/2)=0$, $f_1^{\prime}(x)>0,x\in(1/3,2/3)$.
Una siffatta funzione esiste e può essere costruita ad esempio
con delle funzioni trigonometriche
Definiamo ora ricorsivamente $f_k(x)$ nel seguente modo:
$f_k(x)=1/(4^{k-1})f_{k-1}(3x) - 1/(4^{k-1})$ per $x\in[0,1/3]$
$f_k(x)=0$ per $x\in[1/3,2/3]$
$f_k(x)=1/(4^{k-1})f_{k-1}(3(x-2/3)) + 1/(4^{k-1})$ per $x\in[2/3,1]$.
trattasi dunque della funzione $f_{k-1}$ presa due volte, la prima volta
rimpicciolita e traslata in [0,1/3] e poi abbassata,e la seconda rimpicciolita e traslata dall'altra
parte e poi alzata.
Definiamo ora $U(x)=\sum_{k=1}^{\infty}f_k(x)$. Questa è somma di una serie
di funzioni continue e derivabili e tale serie converge totalmente in quanto ogni funzione,
è per definzione $\leq1/(2^k)$ dunque la somma della serie è una funzione continua,
derivabile e limitata. Mostriamo che ha derivata nulla solo sui punti dell'insieme di Cantor.
sia $x\inC$, allora per costruzione $f_k^{\prime}(x)=0,\forall k$, dunque $f'(x)=0$. Viveversa, se $x$
non appartiene a $C$ esiste un indice $k$ per cui $f_k^{\prime}(x)>0$ e dunque $f'(x)>0$...
credo d'aver detto tutto...
sperando che la mia fatica di passare quasi un'ora e mezza a scrivere non sia
inutile e che qualcuno abbia letto sin qua.
Saluti a Tutti
Risposte
bella, è stata molto interessante, anche se non ho capito tutto alla perfezione 
uber, premetto che la tua funzione è molto simile alla funzione di Cantor e premetto anche che un risultato del genere è straordinario e quindi ti faccio i miei più sentiti complimenti per aver realizzato una cosa del genere da solo e in modo del tutto indipendente e originale... tanto di cappello alla tua bravura, sul serio!
vorrei chiedere solo qualche piccolo chiarimento... ho provato a calcolare $f_2(2/3)$ dalla tua definizione ricorsiva:
$f_k(x)=1/(4^{k-1})f_{k-1}(3(x-2/3)) - 1/(4^{k-1})$ per $x\in[2/3,1]$
$f_2(2/3)=1/(4^{1})f_{1}(3(2/3-2/3)) - 1/(4^{1})$ per $x\in[2/3,1]$=$1/4f_1(0)-1/4$=$-1/4-1/4$=$-1/2$
mi risulta $-1/2$ quando invece dovrebbe essere $0$ tale valore... sbaglio? e se sì, dove?
vorrei chiedere solo qualche piccolo chiarimento... ho provato a calcolare $f_2(2/3)$ dalla tua definizione ricorsiva:
$f_k(x)=1/(4^{k-1})f_{k-1}(3(x-2/3)) - 1/(4^{k-1})$ per $x\in[2/3,1]$
$f_2(2/3)=1/(4^{1})f_{1}(3(2/3-2/3)) - 1/(4^{1})$ per $x\in[2/3,1]$=$1/4f_1(0)-1/4$=$-1/4-1/4$=$-1/2$
mi risulta $-1/2$ quando invece dovrebbe essere $0$ tale valore... sbaglio? e se sì, dove?
ti ringrazio per i complimenti,
quanto alla tua osservazione... devo dire che sei stato attentissimo...
infatti ho sbagliato a scrivere la definizione: fra $2/3$ e $1$ la funzione va "alzata"
e quindi ci va un "+"...
correggo subito
grazie per l'osservazione
quanto alla tua osservazione... devo dire che sei stato attentissimo...
infatti ho sbagliato a scrivere la definizione: fra $2/3$ e $1$ la funzione va "alzata"
e quindi ci va un "+"...
correggo subito
grazie per l'osservazione
uber per sfizio dai un'occhiata qua http://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_di_Cantor giusto per renderti conto della portata della tua scoperta e di quali anologie essa abbia con l'originale "funzione di Cantor"
vorrei inoltre aggiungere
sul serio ad Analisi I hai trattato sta roba? ti dico che a me neanche in Analisi II c'era... ho studiato qualcosa (cenni) durante la preparazione all'esame di Metodi Matematici per l'Ingegneria (era in un capitolo intitolato "elementi di analisi funzionale") ma non in misura tale da risolvere il tuo quesito, ad esempio fino a qualche giorno fa ignoravo cosa fosse l'insieme di Cantor e che potessero esistere funzioni continue ma non assolutamente continue
vorrei inoltre aggiungere
"ubermensch":
credo che non ci sia bisogno di ricorrere all'analisi funzionale...
la mia soluzione [...] utilizza solo un pò di analisi 1 e una piccola dose di fantasia
sul serio ad Analisi I hai trattato sta roba? ti dico che a me neanche in Analisi II c'era... ho studiato qualcosa (cenni) durante la preparazione all'esame di Metodi Matematici per l'Ingegneria (era in un capitolo intitolato "elementi di analisi funzionale") ma non in misura tale da risolvere il tuo quesito, ad esempio fino a qualche giorno fa ignoravo cosa fosse l'insieme di Cantor e che potessero esistere funzioni continue ma non assolutamente continue
l'insieme di CAntor l'ho studiato ultimamente in un corso
del terzo anno, ma ne ero a conoscenza da tempo
(questa mia costruzione risale ad un paio di anni fa,
quando stavo al primo anno)
Tranne l'insieme di Cantor, ho usato solo
procedimenti di Analisi 1, o di quella che da noi si chiama
Analisi 1 (visto che fino agli integrali li facciamo in un altro
corso che si chiama Calcolo 1).
Darò un'occhiata al tuo link
del terzo anno, ma ne ero a conoscenza da tempo
(questa mia costruzione risale ad un paio di anni fa,
quando stavo al primo anno)
Tranne l'insieme di Cantor, ho usato solo
procedimenti di Analisi 1, o di quella che da noi si chiama
Analisi 1 (visto che fino agli integrali li facciamo in un altro
corso che si chiama Calcolo 1).
Darò un'occhiata al tuo link
Io non vorrei dire una stupidaggine, ma mi sembra
che la funzione di Cantor sia sostanzialmentente
diversa dalla mia, in quanto la sua è costante su alcuni
tratti, ad esempio in $[1/3,2/3]$, o comunque fuori
dall'insieme di Cantor, mentre la mia è strettamente
crescente in tutto $[0,1]$...
magari mi sbaglio
che la funzione di Cantor sia sostanzialmentente
diversa dalla mia, in quanto la sua è costante su alcuni
tratti, ad esempio in $[1/3,2/3]$, o comunque fuori
dall'insieme di Cantor, mentre la mia è strettamente
crescente in tutto $[0,1]$...
magari mi sbaglio
per quanto riguarda "la portata della mia scoperta"...
mi duole ammettere che è praticamente nulla...
è finita (da più di un secolo) l'epoca in cui si cercavano
funzioni strane...
ora la ricerca seria è spostata verso direzioni e profondità
che mi sono ancora ignote...
mi duole ammettere che è praticamente nulla...
è finita (da più di un secolo) l'epoca in cui si cercavano
funzioni strane...
ora la ricerca seria è spostata verso direzioni e profondità
che mi sono ancora ignote...
la portata della tua scoperta non sarà enorme...ma in compenso ho passato una bella oretta!! 
(sicuramente meglio di guardare porta a porta... 
)
(sicuramente meglio di guardare porta a porta... )
ihih... grazie mille!!!!
Eh Eh, uber ultimamente sta dando il meglio di se 
Continua così!
Continua così!
"ubermensch":
sperando che la mia fatica di passare quasi un'ora e mezza a scrivere non sia
inutile e che qualcuno abbia letto sin qua.
Grazie ubermensch veramente interessante!
ringrazio anche te davide.. mi fate arrossire con tutti questi complimenti 
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Tutor AI: studia meglio e in meno tempo