Tutto per vedere di che ordine è il polo
Cnsiderando 2 funzioni h(z) di ordine p e g(z) di orgine q ed in particolar modo un'altra funzione f(z)=h(z)/g(z), come si fa a capire il polo di che oridine è?
Se p>=q il polo avrà ordine p-q
se p e basta? questo è il metodo completo per vedere di che ordine è un polo?o bisogna anche provare se le derivate si annullano finchè non esce diverso da zero?
Se p>=q il polo avrà ordine p-q
se p e basta? questo è il metodo completo per vedere di che ordine è un polo?o bisogna anche provare se le derivate si annullano finchè non esce diverso da zero?
Risposte
Io non sono un matematico, ma non mi fiderei del metodo indicato.
Da ingegnere, farei fare la trasformazione ad un calcolatore
(ad es. con Mathcad, e' semplicissimo risolvere una frazione
di numeri complessi) per ricavare direttamente poli e zeri.
Da ingegnere, farei fare la trasformazione ad un calcolatore
(ad es. con Mathcad, e' semplicissimo risolvere una frazione
di numeri complessi) per ricavare direttamente poli e zeri.
devi considerare la derivata ennesima finchè nel punto di singolarità non si annulla
la n della derivata ti dà l'ordine del polo
se si tratta di una funzione f(x)*g(x) il polo è dato dal valore assoluto del polo di f(x) + g(x)
se si tratta di una funzione f(x)/g(x) il polo è dato dal valore assoluto del polo di f(x) - g(x)
hai compreso?????!??!?
la n della derivata ti dà l'ordine del polo
se si tratta di una funzione f(x)*g(x) il polo è dato dal valore assoluto del polo di f(x) + g(x)
se si tratta di una funzione f(x)/g(x) il polo è dato dal valore assoluto del polo di f(x) - g(x)
hai compreso?????!??!?
scusate il ritardo.
Allora se siamo difronte a d esempio a $( cos (z) -1)/z^3 $
per il denominatore 0 è un polo del 3° ordine, invece per il nominatore del 2°: quindi concludiamo dicendo che 0 è di ordine 1?
cosa cambiava se era così? $ z^3/(cos (z) - 1) $ ? 0 non è più un polo ma un punto si regolarità?
Allora se siamo difronte a d esempio a $( cos (z) -1)/z^3 $
per il denominatore 0 è un polo del 3° ordine, invece per il nominatore del 2°: quindi concludiamo dicendo che 0 è di ordine 1?
cosa cambiava se era così? $ z^3/(cos (z) - 1) $ ? 0 non è più un polo ma un punto si regolarità?
Nel primo caso è certamente un polo di ordine 1.
Nel secondo caso siamo di fronte ad uno zero del primo ordine della funzione ( non mi è mai capitato di chiamarlo "puntoo di regolarità")
Nel secondo caso siamo di fronte ad uno zero del primo ordine della funzione ( non mi è mai capitato di chiamarlo "puntoo di regolarità")
allora mi dici perchè il primo lo chiamo polo e il secondo zero?
ciao
ciao
In realtà ho detto una fesseria...
La seconda funzione è identicamente nulla, non un polo di ordine 1...
Che differenza c'è? Ricorri alla definizione.
Z è un polo di ordine N se al limite per z->Z f(z)*(z-Z)^N = L con L!=0.
Z è uno zero di ordine N, se il primo termine dello sviluppo in serie di Taylor di f(z) che si annulla in Z è quello con la derivata di ordine N.
Per cui applica le definizioni alle due funzioni...
La seconda funzione è identicamente nulla, non un polo di ordine 1...
Che differenza c'è? Ricorri alla definizione.
Z è un polo di ordine N se al limite per z->Z f(z)*(z-Z)^N = L con L!=0.
Z è uno zero di ordine N, se il primo termine dello sviluppo in serie di Taylor di f(z) che si annulla in Z è quello con la derivata di ordine N.
Per cui applica le definizioni alle due funzioni...
perchè è nulla la funzione?
Prova a fare lo sviluppo in serie di Taylor di centro 0 della funzione in questione.
Ora controlla l'ordine della prima derivata non nulla per z->0.
L'ordine della derivata sarà l'ordine dello zero...
E comunque non è identicamente nullo...Avevo sbagliato il calcolo dei limiti e pensavo si annullassero tutti i termini dello sviluppo... ma non è così ( se però fosse stato così, per il principio di identità a zero avresti potuto dedurre che la funzione era identicamente nulla)
Dunque, in conclusione ( e sperando di non sparare altre stupidate...) l'ordine dello zero dovrebbe essere 2, perchè la derivata seconda per z->Z è nulla.( ed è la prima che si annulla).
Ora controlla l'ordine della prima derivata non nulla per z->0.
L'ordine della derivata sarà l'ordine dello zero...
E comunque non è identicamente nullo...Avevo sbagliato il calcolo dei limiti e pensavo si annullassero tutti i termini dello sviluppo... ma non è così ( se però fosse stato così, per il principio di identità a zero avresti potuto dedurre che la funzione era identicamente nulla)
Dunque, in conclusione ( e sperando di non sparare altre stupidate...) l'ordine dello zero dovrebbe essere 2, perchè la derivata seconda per z->Z è nulla.( ed è la prima che si annulla).
scrivo qui poichè credo che le cose siano collegate.
se per esempio ho $ (sen z)/(z-pi)^4$
lo zero del denominatore, cioè $pi$ è del 4°ordine, giusto?ora poichè annulla anche il denominatore cosa succede?
se per esempio ho $ (sen z)/(z-pi)^4$
lo zero del denominatore, cioè $pi$ è del 4°ordine, giusto?ora poichè annulla anche il denominatore cosa succede?
"Bandit":
scrivo qui poichè credo che le cose siano collegate.
se per esempio ho $ (sen z)/(z-pi)^4$
lo zero del denominatore, cioè $pi$ è del 4°ordine, giusto?ora poichè annulla anche il denominatore cosa succede?
$pi$ dovrebbe essere un punto di singolarità polare!
e quindi?
"Bandit":
e quindi?
Allora in questa funzione $pi$ è un polo di terzo ordine. Infatti calcolando $lim_{z to pi} (z-pi)^n*sin(z)/(z-pi)^4=lim_{z to pi} sin(z)*(z-pi)^(n-4)$. Questo limite assume valore finito e non nullo per $n=3$. Infatti per $n=3$ il limite vale $-1$.
Ciao!
"leonardo":
[quote="Bandit"]e quindi?
Infatti calcolando $lim_{z to pi} (z+pi)^n*sin(z)/(z-pi)^4=lim_{z to pi} sin(z)*(z-pi)^(n-4)$.
[/quote]
Ciao ma questo limite si fa perchè $pi$ annulla anche il nominatore?
cmq il limite l'hai scritto bene? poichè hai scritto $ $(z+pi)^n *sin(z)$/$(z-pi)^4$$=
perchè poi lo raggruppi, visto che al nominatore c'è + e al denominatore c'è il -?
Scusami! Ho sbagliato a scrivere. Il limite serve per calcolare l'ordine del polo. Infatti il limite generico è $lim_{z to z_0} (z-z_0)^n*f(z)$. Il limite deve essere finito e non nullo per n pari a un certo valore. Il limite comunque in questo caso tende a $z_0=pi$ che è un punto di singolarità polare!
"Bandit":
scrivo qui poichè credo che le cose siano collegate.
se per esempio ho $ (sen z)/(z-pi)^4$
lo zero del denominatore, cioè $pi$ è del 4°ordine, giusto?ora poichè annulla anche il denominatore cosa succede?
quoto la domanda per cercar di essere + precisi possibili.
Scusa se forse vado lento ma credo che sia la miglior cosa.
Il limite non lo si calcola per calcolare il residuo nello zero in questo caso in $pi$ o per capire cosa è lo zero (pt di regolarità,polo o singolarità essenziale) ?
Cmq non ti voglio rompere le certezze, ma solo potresti rifare tutti i passaggi logici, mettendo il limite scritto bene?
ok ci sono grazie , però per una specie di conferma vorrei vedere se ti trovi con me
1) $(z^3 +z^2)/((z+1)senpiz)$ ti trovi che gli zeri sono -1, +1 e zero? tutti del 1°ordine? in questo caso si semplifica e la funzione viene $(z^2)/(senpiz)$
2) $(z^2 + 2z + 1)/(sen2piz)^3$ gli zeri sono -1 del 1° ordine, 1 del 3°, e 0 sempre del 3°?
3) $((z^2+1)e^(z+j))/(cos(z+j)-1)$ è solo -j lo zero, ed è del 1° ordine
4) $(cos(z+1) -1 )/((z+1)^3 sen(pi/2z)$ in questo caso la funzione diventa $(cos(z+1) -1 )/((z-1)(z^2+z+1)sen(pi/2z))$ sarebbero 0, 1, -1, 2, e $((-1+jsqrt(3))/2)$ e $ ((-1-jsqrt(3))/2)$, ma di che ordine?
5) $ (senjz)^2?$qui sono indeciso: è +j e -j?
6) $sen (z-1)^4$? 1 è del 4° ordine?
1) $(z^3 +z^2)/((z+1)senpiz)$ ti trovi che gli zeri sono -1, +1 e zero? tutti del 1°ordine? in questo caso si semplifica e la funzione viene $(z^2)/(senpiz)$
2) $(z^2 + 2z + 1)/(sen2piz)^3$ gli zeri sono -1 del 1° ordine, 1 del 3°, e 0 sempre del 3°?
3) $((z^2+1)e^(z+j))/(cos(z+j)-1)$ è solo -j lo zero, ed è del 1° ordine
4) $(cos(z+1) -1 )/((z+1)^3 sen(pi/2z)$ in questo caso la funzione diventa $(cos(z+1) -1 )/((z-1)(z^2+z+1)sen(pi/2z))$ sarebbero 0, 1, -1, 2, e $((-1+jsqrt(3))/2)$ e $ ((-1-jsqrt(3))/2)$, ma di che ordine?
5) $ (senjz)^2?$qui sono indeciso: è +j e -j?
6) $sen (z-1)^4$? 1 è del 4° ordine?
(1) Gli zeri sono -1,1,0. -1 e 1 hanno ordine 1. Sinceramente non esiste un k tale che il limite $lim_{z to 0} f(z)*z^k$ sia un numero complesso diverso da 0.
(2) Gli zeri sono $1/2,-1/2,0$ di ordine (tutti) 3.
(3) Gli zeri sono $-2pi-i,2pi-i,-i$ di ordine rispettivamente 2,2,1.
(4) Gli zeri sono 2,-2,1,0 di ordine (tutti) 1.
(2) Gli zeri sono $1/2,-1/2,0$ di ordine (tutti) 3.
(3) Gli zeri sono $-2pi-i,2pi-i,-i$ di ordine rispettivamente 2,2,1.
(4) Gli zeri sono 2,-2,1,0 di ordine (tutti) 1.
1) allora?
2)ok mi trovo. e -1 ed 1 ? non sono zeri del denominatore ma del nominatore allora non si considerano?
4) perchè non consideri gli ultimi 2 valori?
2)ok mi trovo. e -1 ed 1 ? non sono zeri del denominatore ma del nominatore allora non si considerano?
4) perchè non consideri gli ultimi 2 valori?
"Bandit":
4) perchè non consideri gli ultimi 2 valori?
Perchè non sono zeri!
Ma state parlando di zeri o di poli ? o forse di zeri del denominatore e quindi poli della funzione ?
Camillo
Camillo
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