Tutte le norme sono equivalenti in spazi di dimensione finita
ciao a tutti, come da titolo cerco di dimostrare questo fatto (evidentemente senza riuscirci 
).
premetto che il testo che sto utilizzando dà la seguente definizione:
due norme $||-||_1$ e $||-||_2$ su $V$ sono equivalenti se $exists K>=1: 1/K ||v||_1 <= ||v||_2 <= K ||v||_1$
allora, siano $||-||$ una norma su $V$ e $phi$ l'isomorfismo tra $V$ e $bbbK^N$ ($N=dim(V)$) che associa ad ogni vettore le sue coordinate rispetto ad una base fissata. ho dimostrato che $phi$ è limitata ($||phi||:= text{sup} _{||v||<=1} ||phi v||$).
il testo mi dice di dimostrare
$1/K ||phi v||<=||v||<=K ||phi v|| forall v in V$
che, scritta per ognuna delle due norme $||-||_1$ e $||-||_2$ (ognuna con una rispettiva costante), mi porterebbe alla tesi (sfruttando che $K_1
questo è ciò che sono riuscito a fare
$||phi||<=K Rightarrow ||phi v||<=K forall v in V: ||v||<=1 $
quindi $forall w in V ||phi w||=||w|| ||phi (w/{||w||})||<=K||w|| Rightarrow 1/K ||phi w|| <=||w|| forall w in V$
come faccio a provare l'altra disequazione? inoltre chi mi dice che $K>=1$?
).premetto che il testo che sto utilizzando dà la seguente definizione:
due norme $||-||_1$ e $||-||_2$ su $V$ sono equivalenti se $exists K>=1: 1/K ||v||_1 <= ||v||_2 <= K ||v||_1$
allora, siano $||-||$ una norma su $V$ e $phi$ l'isomorfismo tra $V$ e $bbbK^N$ ($N=dim(V)$) che associa ad ogni vettore le sue coordinate rispetto ad una base fissata. ho dimostrato che $phi$ è limitata ($||phi||:= text{sup} _{||v||<=1} ||phi v||$).
il testo mi dice di dimostrare
$1/K ||phi v||<=||v||<=K ||phi v|| forall v in V$
che, scritta per ognuna delle due norme $||-||_1$ e $||-||_2$ (ognuna con una rispettiva costante), mi porterebbe alla tesi (sfruttando che $K_1
questo è ciò che sono riuscito a fare
$||phi||<=K Rightarrow ||phi v||<=K forall v in V: ||v||<=1 $
quindi $forall w in V ||phi w||=||w|| ||phi (w/{||w||})||<=K||w|| Rightarrow 1/K ||phi w|| <=||w|| forall w in V$
come faccio a provare l'altra disequazione? inoltre chi mi dice che $K>=1$?
Risposte
Premetto che la dimostrazione di questa proposizione io non l'ho vista fatta così ma in tutt'altro modo, quindi quello che ti dico sono le mie idee.
Secondo me non bisogna dimostrare che $ K>= 1 $, ma una volta che hai dimostrato la disuguaglianza con un K qualsiasi si può prendere un K qualunque convenientemente grande, e maggiore di 1,tanto la disuguaglianza resta valida.
Per quanto riguarda la prima parte della disuguaglianza, ok, quella è semplicemente la definizione di operatore limitato.
Per la seconda disuguaglianza, osserverei che $ varphi $ è un omeomorfismo, cioè funzione continua con inversa continua.
Essendo $ varphi ^-1 $ continua, è anche limitata (è operatore lineare). Quindi, per definizione di operatore limitato:
$ EEK $ t.c. $ || v|| /(||varphi v||)<= K $ $ AA varphi v $ .
Ma questa è proprio la seconda disuguaglianza, se si prende $ K $ sufficientemente grande.
Secondo me non bisogna dimostrare che $ K>= 1 $, ma una volta che hai dimostrato la disuguaglianza con un K qualsiasi si può prendere un K qualunque convenientemente grande, e maggiore di 1,tanto la disuguaglianza resta valida.
Per quanto riguarda la prima parte della disuguaglianza, ok, quella è semplicemente la definizione di operatore limitato.
Per la seconda disuguaglianza, osserverei che $ varphi $ è un omeomorfismo, cioè funzione continua con inversa continua.
Essendo $ varphi ^-1 $ continua, è anche limitata (è operatore lineare). Quindi, per definizione di operatore limitato:
$ EEK $ t.c. $ || v|| /(||varphi v||)<= K $ $ AA varphi v $ .
Ma questa è proprio la seconda disuguaglianza, se si prende $ K $ sufficientemente grande.
grazie gabriella per la risposta, ora provo a riassumere tutto per vedere se ho capito bene.
$phi:V to bbbK^N$ è l'isomorfismo che associa ad ogni vettore le sue coordinate rispetto ad una base fissata
Ho provato che una definizione equivalente alla mia di operatore limitato ($phi$ è limitato se $||phi||<+ infty$) è
$exists K in bbbR : ||phi v||<=K||v|| forall v in V$
(in particolare dev'essere $K>=0$ inoltre si ha $||phi||=text{inf}{K in bbbR : ||phi v||<=K||v|| forall v in V}$)
$phi$ è limitato $Rightarrow exists K_1 in bbbR:||phi v||<=K_1 ||v|| forall v in V Rightarrow 1/K_1 ||phi v||<=||v|| forall v in V$
$phi^-1$ è limitato $Rightarrow exists K_2 in bbbR:||phi^-1(phi v)||=||v||<=K_2||phi v|| forall v in V$
ora scelto arbitrariamente $K in bbbR: K>=K_1,K>=K_2$ (in particolare posso scegliere $K>=1$) si ha
$1/K<=1/K_1 Rightarrow 1/K ||phi v||<=1/K_1||phi v|| forall v in V$
$K_2<=K Rightarrow K_2 ||phi v|| <= K||phi v|| forall v in V$
pertanto concludo $1/K ||phi v|| <= ||v|| <= K ||phi v|| forall v in V$
$phi:V to bbbK^N$ è l'isomorfismo che associa ad ogni vettore le sue coordinate rispetto ad una base fissata
Ho provato che una definizione equivalente alla mia di operatore limitato ($phi$ è limitato se $||phi||<+ infty$) è
$exists K in bbbR : ||phi v||<=K||v|| forall v in V$
(in particolare dev'essere $K>=0$ inoltre si ha $||phi||=text{inf}{K in bbbR : ||phi v||<=K||v|| forall v in V}$)
$phi$ è limitato $Rightarrow exists K_1 in bbbR:||phi v||<=K_1 ||v|| forall v in V Rightarrow 1/K_1 ||phi v||<=||v|| forall v in V$
$phi^-1$ è limitato $Rightarrow exists K_2 in bbbR:||phi^-1(phi v)||=||v||<=K_2||phi v|| forall v in V$
ora scelto arbitrariamente $K in bbbR: K>=K_1,K>=K_2$ (in particolare posso scegliere $K>=1$) si ha
$1/K<=1/K_1 Rightarrow 1/K ||phi v||<=1/K_1||phi v|| forall v in V$
$K_2<=K Rightarrow K_2 ||phi v|| <= K||phi v|| forall v in V$
pertanto concludo $1/K ||phi v|| <= ||v|| <= K ||phi v|| forall v in V$
Sì, sono definizioni equivalenti di operatore limitato, io ho scelto quella perché mi sembrava più comoda, ma è uguale.
La dimostrazione che avevo in mentre è quella che hai scritto, ero stata imprecisa a non distinguere tra $ K_1 $ e $ K_2. $
Però non so se nel tuo esercizio è richiesto di dimostrare che $ varphi $ è un omeomorfismo e che l'inversa è limitata, o si può dare per scontato, quanto meno però bisogna dire, anche se non si dimostra, che è invertibile e che $ varphi^-1 $ è limitata per potere introdurre la maggiorazione con $ K_2 $.
Secondo me dimostrare che $ varphi $ è invertibile si può evitare, è una cosa di algebra lineare e si può dare per scontato, perché $ varphi^-1 $ è limitata andrebbe invece spiegato, è una cosa di analisi funzionale.
La dimostrazione che avevo in mentre è quella che hai scritto, ero stata imprecisa a non distinguere tra $ K_1 $ e $ K_2. $
Però non so se nel tuo esercizio è richiesto di dimostrare che $ varphi $ è un omeomorfismo e che l'inversa è limitata, o si può dare per scontato, quanto meno però bisogna dire, anche se non si dimostra, che è invertibile e che $ varphi^-1 $ è limitata per potere introdurre la maggiorazione con $ K_2 $.
Secondo me dimostrare che $ varphi $ è invertibile si può evitare, è una cosa di algebra lineare e si può dare per scontato, perché $ varphi^-1 $ è limitata andrebbe invece spiegato, è una cosa di analisi funzionale.
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