Troviamo la f

[dennysmathprof]

Cerchiamo f che e' una funzione derivabile a R e

[tex]e^{-x}f{'}(x)+f(x)=\cfrac{e^x}{(e^x+1)^2}, f(0)=\cfrac{1}{2}[/tex]

[Noisemaker]

equazione differenziale lineare del primo ordine

[gugo82]

Anche senza conoscere alcunché delle EDO, si può risolvere il problema come segue.

Innanzitutto, dividiamo membro a membro la relazione assegnata per \(e^{-x}\), ottenendo:
\[
f^\prime (x)+ e^x f(x)=\frac{e^{2x}}{(e^x+1)^2}\; .
\]
Guardiamo adesso il primo membro dell'ultima uguaglianza: esso ricorda in qualche modo la derivata di un prodotto (c'è una \(f\) derivata ed una \(f\) non derivata), ergo sembra plausibile la possibilità di determinare due funzioni \(a(x)\) ed \(A(x)\) tali che:
\[
\left( A(x) f(x)\right)^\prime = a(x)f^\prime (x)+ a(x)e^x f(x)\; ;
\]
sviluppando il primo membro, dobbiamo trovare \( a(x), A(x)\) in modo che risulti:
\[
A(x) f^\prime(x) + A^\prime (x) f(x) = a(x)f^\prime (x)+ a(x)e^x f(x)
\]
il che si verifica se \(A(x)=a(x)\) e se \(A^\prime (x)=a(x) e^x=A(x)e^x\); ma ciò significa che basta prendere \(A(x)=e^{e^x}\).
Fatta tale scelta, moltiplicando m.a.m. per \(A(x)\) si ha:
\[
e^{e^x}f^\prime (x)+ e^xe^{e^x} f(x)=\frac{e^{2x}}{(e^x+1)^2}\ e^{e^x}
\]
ossia:
\[
\left( e^{e^x} f(x)\right)^\prime = \frac{e^{2x}}{(e^x+1)^2}\ e^{e^x}\; .
\]
Ma adesso il problema si può risolvere per quadrature, usando il TFCI:
\[
\int_0^x \left( e^{e^t} f(t)\right)^\prime\ \text{d} t = \int_0^x \frac{e^{2t}}{(e^t+1)^2}\ e^{e^t}\ \text{d} t
\]
e:
\[
e^{e^x} f(x) - \frac{e^e}{2} = \int_0^x \frac{e^{2t}}{(e^t+1)^2}\ e^{e^t}\ \text{d} t
\]
da cui infine:
\[
f(x) = \frac{e^e}{2}\ e^{-e^x} + e^{-e^x}\ \int_0^x \frac{e^{2t}}{(e^t+1)^2}\ e^{e^t}\ \text{d} t
\]
con l'ultimo integrale che si può calcolare esplicitamente.

[dennysmathprof]

Grazie Gugo per aver scrito la tua soluzione. Io faccio un altra cosa molto piu facile

e trovo la [tex]f(x)=\cfrac {1}{e^x+1}[/tex]

[dennysmathprof]

per dare un aiuto vi dico che basta a mettere al posto di x qulcosa altro ...Dai forza

[Rigel1]

Volendo si può considerare \(g(t) = e^t f(\log t)\), ottenendo \(g'(t) = e^t \, \frac{t}{(1+t)^2}\) con \(g(1) = e/2\), da cui per integrazione \(g(t) = e^t / (1+t)\), dunque \(f(x) = 1/(1+e^x)\); non mi sembra però filosoficamente diverso dalla risoluzione diretta dell'equazione lineare iniziale.

[dennysmathprof]

si come [tex]x\in \mathbb R[/tex]mettiamo al posto di [tex]x\rightarrow lnx\Rightarrow

e^{-lnx}f{'}(lnx)+f(lnx)=\cfrac{x}{(x+1)^2}\Rightarrow \cfrac{1}{x}f{'}(lnx)+f(lnx)=\cfrac{x}{(x+1)^2}\Rightarrow


[tex](f(lnx)){'}+f(lnx) = \cfrac{x}{(x+1)^2} \Rightarrow[/tex]

[tex](e^{x}f(lnx)){'}=\cfrac{xe^{x}}{(x+1)^2}=(\cfrac{e^x}{(x+1)}){'}[/tex]


[tex]\Rightarrow e^{x}f(lnx)=\cfrac{e^x}{x+1}+c\Rightarrow x=1...c=0\Rightarrow f(lnx)=\cfrac{1}{x+1}[/tex]

e per [tex]x \rightarrow e^x\Rightarrow f(x)=\cfrac{1}{e^{x}+1}[/tex]