Trovare un x0 che risolva una data funzione
CIao a tutti 
anzitutto ringrazio chi mi ha aiutato precedentemente con tutte le tracce proposte. Siete davvero impagabili. Grazie.
Avrei bisogno di una mano per risolvere questo esercizio. La traccia recita:
Sia \(\displaystyle f x=x^3+2 \log (x)+9 \cos (x) \). Dire se esiste \(\displaystyle x_0>0 \) tale che \(\displaystyle f x_0=1 \), giustificando la risposta.
Per prima cosa pongo:
\(\displaystyle 1=x_0^3+2 \log \left(x_0\right)+9 \cos \left(x_0\right) \)
oltre che calcolare il dominio dei tre termini a secondo membro non so che altro fare. Qualcuno potrebbe aiutarmi a impostare correttamente il problema?
anzitutto ringrazio chi mi ha aiutato precedentemente con tutte le tracce proposte. Siete davvero impagabili. Grazie.Avrei bisogno di una mano per risolvere questo esercizio. La traccia recita:
Sia \(\displaystyle f x=x^3+2 \log (x)+9 \cos (x) \). Dire se esiste \(\displaystyle x_0>0 \) tale che \(\displaystyle f x_0=1 \), giustificando la risposta.
Per prima cosa pongo:
\(\displaystyle 1=x_0^3+2 \log \left(x_0\right)+9 \cos \left(x_0\right) \)
oltre che calcolare il dominio dei tre termini a secondo membro non so che altro fare. Qualcuno potrebbe aiutarmi a impostare correttamente il problema?
Risposte
Ciao 
La prima cosa che mi viene in mente è questa: considera la funzione $g(x) = f(x) -1$, trovare un $x_0$ per cui $f(x) = 1$ significa trovare un $x_0$ per cui $g(x) = 0$. Per dimostrare l'esistenza di tale $x_0$ basta applicare il teorema degli zeri su $g(x)$.
La prima cosa che mi viene in mente è questa: considera la funzione $g(x) = f(x) -1$, trovare un $x_0$ per cui $f(x) = 1$ significa trovare un $x_0$ per cui $g(x) = 0$. Per dimostrare l'esistenza di tale $x_0$ basta applicare il teorema degli zeri su $g(x)$.
grazie del tuo consiglio Shocker 
provo come hai detto tu con il teorema degli zeri. Per fare ciò devo prendere un intervallo chiuso e limitato \(\displaystyle [a, b] \) in cui la funzione \(\displaystyle g(x) = f(x) - 1 \) sia continua e inoltre deve assumere valori opposti per i valori estremi dell'intervallo considerato.
per x > 0 quindi, la funzione assume quasi sempre valori positivi tanto che inizio a pensare che il teorema degli zeri non possa essere applicato. Provo a cercare se nell'intorno destro di 0 c'è qualche valore di x per cui f(x) sia negativa.
\(\displaystyle \lim_{x\to 0} \left(x^3+2 \log(x) +9 \cos(x) -1\right)=-\infty \)
me l'aspettavo perchè log(x) necessita di x>0. Questo mi assicura che ci sono valori di x per cui f(x) è negativa, ma come faccio a trovarne almeno uno?
provo come hai detto tu con il teorema degli zeri. Per fare ciò devo prendere un intervallo chiuso e limitato \(\displaystyle [a, b] \) in cui la funzione \(\displaystyle g(x) = f(x) - 1 \) sia continua e inoltre deve assumere valori opposti per i valori estremi dell'intervallo considerato.
per x > 0 quindi, la funzione assume quasi sempre valori positivi tanto che inizio a pensare che il teorema degli zeri non possa essere applicato. Provo a cercare se nell'intorno destro di 0 c'è qualche valore di x per cui f(x) sia negativa.
\(\displaystyle \lim_{x\to 0} \left(x^3+2 \log(x) +9 \cos(x) -1\right)=-\infty \)
me l'aspettavo perchè log(x) necessita di x>0. Questo mi assicura che ci sono valori di x per cui f(x) è negativa, ma come faccio a trovarne almeno uno?
Ciao
Basta prendere un qualsiasi $a in (0, delta)$, dove $(0, delta)$ è l'intorno destro di $0$ in cui $g(x)$ è negativa(l'esistenza di tale intorno ce lo assicura il teorema di permanenza del segno).
Basta prendere un qualsiasi $a in (0, delta)$, dove $(0, delta)$ è l'intorno destro di $0$ in cui $g(x)$ è negativa(l'esistenza di tale intorno ce lo assicura il teorema di permanenza del segno).
ah giustissimo, non necessito di conoscere il valore di x per cui y è negativa, mi basta sapere che esiste per confermare l'esistenza di x0. Grazie mille ancora Shocker, penso di aver risolto l'esercizio
infatti ora basta dire che esiste tale punto in base a quanto detto prima e quindi abbiamo un'intervallo \(\displaystyle [a;b] \) in cui y assume valori opposti agli estremi. Per il teorema di esistenza degli zeri esso ammetterà quindi un \(\displaystyle x_0 = 0 \) per cui \(\displaystyle g(x) = 0 \) e dunque \(\displaystyle f(x) = 1 \).
Per fare ciò credo che rimanga solo da dimostrare che \(\displaystyle g(x) \) è continua in tale intervallo. Per fare ciò potrei dire che prendo un qualsiasi punto interno all'intervallo \(\displaystyle [a;b] \) tranne gli estremi e calcolo il limite che tende a quel punto da destra e sinistra dimostrando che coincidano tra loro...
In quest'ultimo caso, come dovrei affrontare il limite dato che non conosco il valore di questo punto? devo prendere un valore numerico o basta ancora una volta un valore qualunque compreso nell'intervallo chiuso e limitato \(\displaystyle [a;b] \)?
infatti ora basta dire che esiste tale punto in base a quanto detto prima e quindi abbiamo un'intervallo \(\displaystyle [a;b] \) in cui y assume valori opposti agli estremi. Per il teorema di esistenza degli zeri esso ammetterà quindi un \(\displaystyle x_0 = 0 \) per cui \(\displaystyle g(x) = 0 \) e dunque \(\displaystyle f(x) = 1 \).
Per fare ciò credo che rimanga solo da dimostrare che \(\displaystyle g(x) \) è continua in tale intervallo. Per fare ciò potrei dire che prendo un qualsiasi punto interno all'intervallo \(\displaystyle [a;b] \) tranne gli estremi e calcolo il limite che tende a quel punto da destra e sinistra dimostrando che coincidano tra loro...
In quest'ultimo caso, come dovrei affrontare il limite dato che non conosco il valore di questo punto? devo prendere un valore numerico o basta ancora una volta un valore qualunque compreso nell'intervallo chiuso e limitato \(\displaystyle [a;b] \)?
Ciao
No, il teorema dice che esiste almeno un punto $x_0 in [a,b]$ in cui $g(x)$ si annulla, non specifica che $x_0 = 0$, né sarebbe possibile perché in $0$ la funzione non è definita(anche perché $0 < a < delta$).
$g(x) = x^3 + 2log(x) + 9cos(x) - 1$, come vedi $g$ è somma di funzioni continue e pertanto è una funzione continua(algebra delle funzioni continue: click).
"Leonard89":
ah giustissimo, non necessito di conoscere il valore di x per cui y è negativa, mi basta sapere che esiste per confermare l'esistenza di x0. Grazie mille ancora Shocker, penso di aver risolto l'esercizio
infatti ora basta dire che esiste tale punto in base a quanto detto prima e quindi abbiamo un'intervallo \( \displaystyle [a;b] \) in cui y assume valori opposti agli estremi. Per il teorema di esistenza degli zeri esso ammetterà quindi un \( \displaystyle x_0 = 0 \)
No, il teorema dice che esiste almeno un punto $x_0 in [a,b]$ in cui $g(x)$ si annulla, non specifica che $x_0 = 0$, né sarebbe possibile perché in $0$ la funzione non è definita(anche perché $0 < a < delta$).
Per fare ciò credo che rimanga solo da dimostrare che \( \displaystyle g(x) \) è continua in tale intervallo
$g(x) = x^3 + 2log(x) + 9cos(x) - 1$, come vedi $g$ è somma di funzioni continue e pertanto è una funzione continua(algebra delle funzioni continue: click).
"Shocker":
No, il teorema dice che esiste almeno un punto $x_0 in [a,b]$ in cui $g(x)$ si annulla, non specifica che $x_0 = 0$, né sarebbe possibile perché in $0$ la funzione non è definita(anche perché $0 < a < delta$).
si scusami tanto, ho sbagliato a scrivere, sono troppo frettoloso. Volevo appunto scrivere che esiste un x0, certamente diverso da zero per cui g(x) = 0
grazie infinite
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