Trovare un intorno e approssimare
Ciao a tutti 
Ho la funzione
\(\displaystyle f(x) = \begin{cases} \frac{e^{x^2}-1}{x} & x \ne 0 \\
0 & x = 0 \end{cases} \)
Devo trovare un intorno di $x_0=0$ e un polinomio di terzo grado che approssimi in tale intorno la funzione a meno di $\frac{1}{1000}$.
Non so se sto facendo la strada giusta.
Prima di tutto controllo che la funzione sia continua in $x_0=0$ :
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x^2}-1}{x} = 0 \) quindi è continua in tutto il dominio.
Per approssimare impiego MacLaurin con resto secondo Lagrange:
\(\displaystyle e^t=1+t+\frac{1}{2}t^2+\frac{1}{6}e^ct^3 \)
\(\displaystyle \Rightarrow e^{x^2}=1+x^2+\frac{1}{2}x^4+\frac{1}{6}e^cx^6 \)
\(\displaystyle f(x)=\frac{e^{x^2}-1}{x} = (P_3(x))+(E(x)) = (x+\frac{1}{2}x^3)+(\frac{1}{6}e^cx^5) \)
Ora cerco un intorno \(\displaystyle I=(-\delta, \delta) \). Tengo presente che:
\(\displaystyle E = \sup_{x \in I} E(x) = \sup_{x \in I} | f(x)-P_3(x)| = \sup_{x \in I} \frac{1}{6}e^cx^5 \)
e pongo (imponendo \(\displaystyle |c|<|\delta| \) )
\(\displaystyle E = \sup_{x \in I} \frac{1}{6}e^cx^5 \le \frac{1}{6}e^{\delta}\delta^5 \)
Scelgo un \(\displaystyle \delta : 0 < \delta < 1 \), da cui \(\displaystyle e^{\delta} < e < 6 \). In questo modo (ricordando che l'errore deve essere inferiore a $10^-3$):
\(\displaystyle E \le \frac{1}{6}e^{\delta}\delta^5 < \frac{1}{6} 6 \delta^5 = \delta^5 < 10^{-3} \Rightarrow \delta < \sqrt[5]{10^{-3}}\), che sarebbe valido poiché avevo impostato che \(\displaystyle 0 < \delta < 1 \)
Ho la funzione
\(\displaystyle f(x) = \begin{cases} \frac{e^{x^2}-1}{x} & x \ne 0 \\
0 & x = 0 \end{cases} \)
Devo trovare un intorno di $x_0=0$ e un polinomio di terzo grado che approssimi in tale intorno la funzione a meno di $\frac{1}{1000}$.
Non so se sto facendo la strada giusta.
Prima di tutto controllo che la funzione sia continua in $x_0=0$ :
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x^2}-1}{x} = 0 \) quindi è continua in tutto il dominio.
Per approssimare impiego MacLaurin con resto secondo Lagrange:
\(\displaystyle e^t=1+t+\frac{1}{2}t^2+\frac{1}{6}e^ct^3 \)
\(\displaystyle \Rightarrow e^{x^2}=1+x^2+\frac{1}{2}x^4+\frac{1}{6}e^cx^6 \)
\(\displaystyle f(x)=\frac{e^{x^2}-1}{x} = (P_3(x))+(E(x)) = (x+\frac{1}{2}x^3)+(\frac{1}{6}e^cx^5) \)
Ora cerco un intorno \(\displaystyle I=(-\delta, \delta) \). Tengo presente che:
\(\displaystyle E = \sup_{x \in I} E(x) = \sup_{x \in I} | f(x)-P_3(x)| = \sup_{x \in I} \frac{1}{6}e^cx^5 \)
e pongo (imponendo \(\displaystyle |c|<|\delta| \) )
\(\displaystyle E = \sup_{x \in I} \frac{1}{6}e^cx^5 \le \frac{1}{6}e^{\delta}\delta^5 \)
Scelgo un \(\displaystyle \delta : 0 < \delta < 1 \), da cui \(\displaystyle e^{\delta} < e < 6 \). In questo modo (ricordando che l'errore deve essere inferiore a $10^-3$):
\(\displaystyle E \le \frac{1}{6}e^{\delta}\delta^5 < \frac{1}{6} 6 \delta^5 = \delta^5 < 10^{-3} \Rightarrow \delta < \sqrt[5]{10^{-3}}\), che sarebbe valido poiché avevo impostato che \(\displaystyle 0 < \delta < 1 \)
Risposte
Non credo che il procedimento sia giusto.
Dovresti prendere la definizione del resto di Lagrange, capire bene cosa c'è scritto, quindi trovare un modo per essere certi che il resto non ecceda la richiesta del problema. In pratica si tratta di trovare il max o il min della derivata che compare nel resto.
Dovresti prendere la definizione del resto di Lagrange, capire bene cosa c'è scritto, quindi trovare un modo per essere certi che il resto non ecceda la richiesta del problema. In pratica si tratta di trovare il max o il min della derivata che compare nel resto.
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