Trovare soluzioni di un'equazione con numeri complessi.
Salve a tutti. Purtroppo sto trovando parecchie difficoltà con l'argomento "numeri complessi". Sino alla risoluzione di esercizi banali non ho problemi, per l'appunto data la facilità richiesta nello svolgimento. Adesso sono bloccato con il seguente esercizio:
trovare le soluzioni $n in N$ dell'equazione :
$(-sqrt3 +i)^n=4(1-isqrt3)$
dal momento che la formula di De Moivre è utilizzata perchè utile nella risoluzione dell'equazione $z^n=w$, pensavo di imporre z= alla forma trigonometrica di $-sqrt3+i$ e w a quella di $1-isqrt3$. Tuttavia non so se sia corretto o meno il ragionamento.
Inoltre, non mi è chiaro il procedimento da applicare in un altro esercizio:
$z^3-iz^2-(1+i)z+3i=0_C$ in cui si chiede di risolvere ( non saprei in che modo
) l'equazione. Bisogna operare cambio variabile? Non chiedo ovviamente la risoluzione degli esercizi, perchè altrimenti non imparerei nulla. Ma spero possiate darmi chiarimenti a riguardo. Vi ringrazio per la bontà e attenzione che mi presterete.
Alex
trovare le soluzioni $n in N$ dell'equazione :
$(-sqrt3 +i)^n=4(1-isqrt3)$
dal momento che la formula di De Moivre è utilizzata perchè utile nella risoluzione dell'equazione $z^n=w$, pensavo di imporre z= alla forma trigonometrica di $-sqrt3+i$ e w a quella di $1-isqrt3$. Tuttavia non so se sia corretto o meno il ragionamento.
Inoltre, non mi è chiaro il procedimento da applicare in un altro esercizio:
$z^3-iz^2-(1+i)z+3i=0_C$ in cui si chiede di risolvere ( non saprei in che modo
) l'equazione. Bisogna operare cambio variabile? Non chiedo ovviamente la risoluzione degli esercizi, perchè altrimenti non imparerei nulla. Ma spero possiate darmi chiarimenti a riguardo. Vi ringrazio per la bontà e attenzione che mi presterete.Alex
Risposte
per il primo: io ti consiglierei di scrivere con gli esponenziali l'espressione. cioè non lasciare l'espressione di de moivre in seni e coseni, ma di arrivare a scivere nella forma esponenziale.
ehm...il prof non le ha ancora spiegate. 
Secondo esercizio
Poni $ z=x+iy $, con $ x,y in RR$
Poni $ z=x+iy $, con $ x,y in RR$
esatto! Poni $-sqrt3+i=w$ e ti trovi $w=4(1+isqrt3)$. Ora,che modulo ha $(1+isqrt3)?=sqrt(1+3)=2$ Quindi porti fuori il due e ottieni $w^n=8(1/2+isqrt3/2)$ che sai essere un angolo particolare,ovvero $pi/3$. Quindi puoi riscrivere tutto come $w^n=8(cos(pi/3)+isin(pi/3))$ e usare De Moivre
"Camillo":
Secondo esercizio
Poni $ z=x+iy $, con $ x,y in RR$
Ok, grazie Camillo. Quindi, sconsigli raggruppamenti a fattor comune?
grazie kekko. Per il secondo esercizio, mi è venuto in mente un procedimento, anche se non so l'effettiva e corretta applicabilità:
dal momento che z è soluzione dell'equazione algebrica in campo complesso, anche il coniugato dovrebbe essserlo dell'eq. coniugata;quindi sommando membro a membro dovrei trovare ancora radici che siano soluzione..
dal momento che z è soluzione dell'equazione algebrica in campo complesso, anche il coniugato dovrebbe essserlo dell'eq. coniugata;quindi sommando membro a membro dovrei trovare ancora radici che siano soluzione..
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