Trovare parametri per continuità e derivabilità funzione
Non riesco a capire il modus operandi per questo tipo di esercizi, in particolare per la derivabilità.
l'esercizio è il seguente
'Determina i parametri a e b in modo che la seguente funzione sia continua e derivabile in $ RR $
$ f(x)={ ( -ax-2 \rightarrow x<-1),( x+b \rightarrow -1<=x<=0 ),( 1+sinx \rightarrow x>0 ):} $
( $ \rightarrow $ consideratela come fosse 'per', non sapevo come porre le condizioni della $x$) '
CONTINUITA'
Ho iniziato con la continuità trovandomi i limiti destro e sinistro
1) $ lim_(x->0^-)f(x)=lim_(x->0)(x+b)=b $
2) $ lim_(x->0^+)f(x)=lim_(x->0)(1+sinx)=1 $ , quindi ho $b=1$
3) $ lim_(x->-1^-)f(x)=lim_(x->-1)(-ax-2)=a-2 $ quindi $a=2$
4) $ lim_(x->-1^+)f(x)=lim_(x->-1)(x+b)=-1+b $ quindi $b=1$ (anche se l'avevo trovato prima)
Inoltre ho $f(0)=b=1$ e $f(-1)=0$
DERIVABILITA'
Ho usato il rapporto incrementale, come vuole il prof
5) $ lim_(h->0^-)(f(x_0+h)-f(x_0))/h $, pongo $x_0=0$ e ottengo $ lim_(h->0)(f(h)-f(0))/h $ e andando a sostituire $f(0)$ con $b$ e $f(h)$ con $h+b$ ho $ lim_(h->0)(h+b-b)/h = 1$
6)$ lim_(h->0^+)(f(x_0+h)-f(x_0))/h $, pongo $x_0=0$ e ottengo $ lim_(h->0)(f(h)-f(0))/h $ e andando a sostituire $f(0)$ con $b=1$ e $f(h)$ con $1+sinh$ ho $ lim_(h->0)(1+sinh-1)/h = 1$
poi però non so come finire l'esercizio
ho cercato di rendere tutto il più chiaro possibile, per facilitarvi la lettura
l'esercizio è il seguente
'Determina i parametri a e b in modo che la seguente funzione sia continua e derivabile in $ RR $
$ f(x)={ ( -ax-2 \rightarrow x<-1),( x+b \rightarrow -1<=x<=0 ),( 1+sinx \rightarrow x>0 ):} $
( $ \rightarrow $ consideratela come fosse 'per', non sapevo come porre le condizioni della $x$) '
CONTINUITA'
Ho iniziato con la continuità trovandomi i limiti destro e sinistro
1) $ lim_(x->0^-)f(x)=lim_(x->0)(x+b)=b $
2) $ lim_(x->0^+)f(x)=lim_(x->0)(1+sinx)=1 $ , quindi ho $b=1$
3) $ lim_(x->-1^-)f(x)=lim_(x->-1)(-ax-2)=a-2 $ quindi $a=2$
4) $ lim_(x->-1^+)f(x)=lim_(x->-1)(x+b)=-1+b $ quindi $b=1$ (anche se l'avevo trovato prima)
Inoltre ho $f(0)=b=1$ e $f(-1)=0$
DERIVABILITA'
Ho usato il rapporto incrementale, come vuole il prof
5) $ lim_(h->0^-)(f(x_0+h)-f(x_0))/h $, pongo $x_0=0$ e ottengo $ lim_(h->0)(f(h)-f(0))/h $ e andando a sostituire $f(0)$ con $b$ e $f(h)$ con $h+b$ ho $ lim_(h->0)(h+b-b)/h = 1$
6)$ lim_(h->0^+)(f(x_0+h)-f(x_0))/h $, pongo $x_0=0$ e ottengo $ lim_(h->0)(f(h)-f(0))/h $ e andando a sostituire $f(0)$ con $b=1$ e $f(h)$ con $1+sinh$ ho $ lim_(h->0)(1+sinh-1)/h = 1$
poi però non so come finire l'esercizio
ho cercato di rendere tutto il più chiaro possibile, per facilitarvi la lettura
Risposte
"simo954":
3) $ lim_(x->-1^-)f(x)=lim_(x->-1)(-ax-2)=a-2 $ quindi $a=2$
4) $ lim_(x->-1^+)f(x)=lim_(x->-1)(x+b)=-1+b $ quindi $b=1$ (anche se l'avevo trovato prima)
No un momento: perché concludi affermando che $a=2$ (e $b=1$) da questi limiti?
guarda, è più di un giorno che sto su questo esercizio e quello è l'unico risultato logico(ma senza senso) che avevo trovato.
adesso però che me lo fai notare ho capito il rapporto tra quei due limiti...ho $a-2=-1+b$, essendo $b=1$ ottengo $a-2=0$ ossia $a=2$
non so perchè ma l'ho capito appena ho letto il tuo messaggio
per il resto?
adesso però che me lo fai notare ho capito il rapporto tra quei due limiti...ho $a-2=-1+b$, essendo $b=1$ ottengo $a-2=0$ ossia $a=2$
non so perchè ma l'ho capito appena ho letto il tuo messaggio
per il resto?
Ok, ora va bene 
Il resto mi sembra giusto, ma non l'hai finito: dov'è lo studio della derivabilità nel punto di ascissa $-1$?
Il resto mi sembra giusto, ma non l'hai finito: dov'è lo studio della derivabilità nel punto di ascissa $-1$?
eh quello non so come farlo
sostituisco $x_0$ con $-1$ ma poi non so come procedere
sostituisco $x_0$ con $-1$ ma poi non so come procedere
Nello stesso identico modo! 
La formula è sempre quella:
\[\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {{x_0} + h} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{h}\]
Se $x_0=-1$, quanto valgono $f(x_0)$ e $f(x_0+h)$ per $x<-1$? E per $x =-1$?
La formula è sempre quella:
\[\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {{x_0} + h} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{h}\]
Se $x_0=-1$, quanto valgono $f(x_0)$ e $f(x_0+h)$ per $x<-1$? E per $x =-1$?
fino a $ lim_(h->0^-)(f(x_0+h)-f(x_0))/h=lim_(h->0)(f(-1+h)-f(-1))/h $ e
$ lim_(h->0^+)(f(x_0+h)-f(x_0))/h=lim_(h->0)(f(-1+h)-f(-1))/h $ ci sono, il problema è dopo quando vado a 'esplicitare' $f(-1+h)$ che non so come riscriverlo
$ lim_(h->0^+)(f(x_0+h)-f(x_0))/h=lim_(h->0)(f(-1+h)-f(-1))/h $ ci sono, il problema è dopo quando vado a 'esplicitare' $f(-1+h)$ che non so come riscriverlo
cioè $f(-1)=0$ perchè l'ho calcolato all'inizio, il problema è solo per $f(-1+h)$
Devi solo sostituire $x$ con $-1+h$ all'interno della funzione.
Quindi $ lim_(h->0^-)(f(-1+h)-f(-1))/h=lim_(h->0)((-a(-1+h))-0)/h=-2 $ e
$ lim_(h->0^+)(f(-1+h)-f(-1))/h=lim_(h->0)((-1+h-1)-0)/h=1 $ e in conclusione la funzione è continua in $a=2, b=1$ e derivabile solo in $0$?
$ lim_(h->0^+)(f(-1+h)-f(-1))/h=lim_(h->0)((-1+h-1)-0)/h=1 $ e in conclusione la funzione è continua in $a=2, b=1$ e derivabile solo in $0$?
qualcuno mi può dire se la soluzione trovata è giusta?
così almeno chiudo con questo esercizio
così almeno chiudo con questo esercizio
Sì, la funzione non è derivabile in $x_0=-1$ 
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