Trovare massimi e minimi assoluti di $F$ su un insieme

[smaug1]

$f(x,y) = y$ con $S = {(x,y) \in R^2: G(x,y) = \log (1 + x^2) + \arctan (y^2) <= \pi/4}$

Allora $\grad f = (0,1) \ne (0,0)$ per quale motivo se il gradiente della funzione è diverso da zero devo andare a cercare i punti di massimo o di minimo sul bordo di $S$? mentre se è uguale a zero devo procedere con la matrice hessiana?

$\{(0 = \lambda (2x)/(1 + x^2)),(1 = \lambda (2y)/(1 + y^2)),(\log (1 + x^2) + \arctan (y^2) = \pi/4):}$

e come lo risolvo?

Grazie mille

[Quinzio]

Smaug, serve un piccolo sforzo e sei arrivato...

Dalla prima equazione del sistema hai che $x=0$ siccome per definizione $\lambda \ne 0$.

Dall'ultima hai che $y^2 = tan ((\pi)/4)$, cioè $y=\pm 1$.

Quindi i due punti sono $(0,\pm1)$.

Nota: la derivata dell'arctan non è corretta, ma non cambia nulla.

[smaug1]

Ah certo al denominatore della derivata cè un $y^4$! Quindi nella prima il denominatore è sempre diverso da zero per cui $x=0$ posso trovare quindi la $y$.

Io dire che il punto $(0,1)$ è un punto di massimo sul bordo di $S$ mentre $(0,-1)$ è di minimo?

Se il gradiente fosse stato per esempio pari a $(2x,2y)$ avrei dovuto dire che si annulla in $ (0,0)$ e li avrei dovuto fare la matrice hessiana? cioè all'interno di $S$? Mentre sul bordo (sul bordo $\nabla F \ne 0$ ?)avrei dovuto fare il metodo dei moltiplicatori di lagrange?

Grazie

[smaug1]

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