Trovare l'ordine di infinitesimo: (è corretto?)
Determinare l'ordine di infinitesimo (se esiste) delle seguenti funzioni, per \(\displaystyle x \rightarrow 0 \)
1)\(\displaystyle ln(1+3x^2) - 3x^2\)
2)\(\displaystyle xlnx + sen^2x \)
3)\(\displaystyle 2 - 2cosx - x^2 \)
Per quanto riguarda la 1) ho scritto \(\displaystyle \frac{ln(1+3x^2) - 3x^2}{x^{\alpha}} \), ho usato taylor per il logaritmo e mi viene \(\displaystyle \frac{3x^2 + o(x^2) - 3x^2}{x^{\alpha}} \) ora cosa devo dire? mi rimane \(\displaystyle \frac{o(x^2)}{x^{\alpha}} \), non esiste un ordine di infinitesimo?
Per la 2) ho scritto \(\displaystyle \frac{xlnx + sen^2x }{x^{\alpha}} \) posso dire che \(\displaystyle sen^2x \) è un infinitesimo di ordine maggiore di \(\displaystyle xlnx \) essendo il loro rapporto \(\displaystyle 0 \) e quindi studiare solamente \(\displaystyle \frac{sen^2x}{x^{\alpha}} \)? concludendo che \(\displaystyle \alpha= 2 \)?
Per la 3) ho \(\displaystyle \frac{ 2 - 2cosx - x^2 }{x^{\alpha}} \) utilizzando taylor alla fine mi ritrovo con \(\displaystyle \frac{o(x^2)}{x^{\alpha}} \) cosa devo dire? che l'ordine \(\displaystyle \alpha \) non esiste??? Grazie
1)\(\displaystyle ln(1+3x^2) - 3x^2\)
2)\(\displaystyle xlnx + sen^2x \)
3)\(\displaystyle 2 - 2cosx - x^2 \)
Per quanto riguarda la 1) ho scritto \(\displaystyle \frac{ln(1+3x^2) - 3x^2}{x^{\alpha}} \), ho usato taylor per il logaritmo e mi viene \(\displaystyle \frac{3x^2 + o(x^2) - 3x^2}{x^{\alpha}} \) ora cosa devo dire? mi rimane \(\displaystyle \frac{o(x^2)}{x^{\alpha}} \), non esiste un ordine di infinitesimo?
Per la 2) ho scritto \(\displaystyle \frac{xlnx + sen^2x }{x^{\alpha}} \) posso dire che \(\displaystyle sen^2x \) è un infinitesimo di ordine maggiore di \(\displaystyle xlnx \) essendo il loro rapporto \(\displaystyle 0 \) e quindi studiare solamente \(\displaystyle \frac{sen^2x}{x^{\alpha}} \)? concludendo che \(\displaystyle \alpha= 2 \)?
Per la 3) ho \(\displaystyle \frac{ 2 - 2cosx - x^2 }{x^{\alpha}} \) utilizzando taylor alla fine mi ritrovo con \(\displaystyle \frac{o(x^2)}{x^{\alpha}} \) cosa devo dire? che l'ordine \(\displaystyle \alpha \) non esiste??? Grazie
Risposte
1) Non basta. Devi sviluppare fino al termine successivo.
2) $x ln(x)$ è l'infinitesimo predominante, non $sin^2(x)$. Quindi...
3) Anche qui come per il punto 1).
2) $x ln(x)$ è l'infinitesimo predominante, non $sin^2(x)$. Quindi...
3) Anche qui come per il punto 1).
Per la 1) allora ho \(\displaystyle \frac{- 9x^4 + o(x^4)}{x^{\alpha}} \) se divido e moltiplico per \(\displaystyle x^4 \) il limite è \(\displaystyle -\frac{9}{2} \) e \(\displaystyle \alpha= 4?? \)
per la 2) io ho fatto il rapporto tra il logaritmo moltiplicato per \(\displaystyle x \) e il seno ma viene \(\displaystyle \infty \)...però non si dice che \(\displaystyle f(x) \) è di ordine superiore ad un'altra se il loro rapporto è \(\displaystyle 0 \)?
$lim_(x -> 0) (sin^2(x))/(x ln(x)) = lim_(x -> 0) (x^2)/(x ln(x)) = 0$
Quindi $sin^2(x) = o ( x ln(x) )$.
Per quanto riguarda l'es. numero 1) va bene. Tutto giusto.
Quindi $sin^2(x) = o ( x ln(x) )$.
Per quanto riguarda l'es. numero 1) va bene. Tutto giusto.
per la 3) \(\displaystyle \alpha = 4 \)??? essendo il limite \(\displaystyle - \frac{1}{12} \)?
hai ragione seneca..mi ero confuso!!! 
"davidedesantis":
per la 3) \(\displaystyle \alpha = 4 \)??? essendo il limite \(\displaystyle - \frac{1}{12} \)?
Esatto.
Quindi per la 2) avrò:
\(\displaystyle \frac{xlnx}{x^{\alpha}} \), ora come potrei fare? devo usare de l'hopital?
\(\displaystyle \frac{xlnx}{x^{\alpha}} \), ora come potrei fare? devo usare de l'hopital?
L'ordine di infinitesimo di $x ln(x)$ rispetto all'infinitesimo campione scelto ( $x$ ) è infrareale. Infatti:
$lim_(x -> 0) (x ln(x))/x = -oo$
Mentre $lim_(x ->0) (x ln(x))/x^(1-epsilon) = 0$ , $AA epsilon , 0 < epsilon <= 1$.
$lim_(x -> 0) (x ln(x))/x = -oo$
Mentre $lim_(x ->0) (x ln(x))/x^(1-epsilon) = 0$ , $AA epsilon , 0 < epsilon <= 1$.
questo esercizio l'ho preso dalla dispensa del mio prof, però lui non ha mai parlato di un ordine infrareale...cosa significa?
Significa che non esiste un $alpha$ che faccia al caso tuo... Quindi direi che la risposta giusta è "non esiste".
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